PENSAMIENTO LÓGICO

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PENSAMIENTO LÓGICO por Mind Map: PENSAMIENTO LÓGICO

1. TEORÍA DE CONJUNTOS PROPIEDADES Y OPERACIONES

1.1. ELEMENTOS:

1.1.1. Se denomina elemento (miembro) de un conjunto a cada una de las entidades que el mismo contiene. Los elementos de un conjunto se representan mediante alguna notación particular que se introduzca para nombrarlos. Por ejemplo, los símbolos que representan los números en el sistema decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, nombres de personas: Maria, Pedro, etcétera.

1.2. Para desarrollar la teoría de conjuntos se introducirá paulatinamente una notación que permitirá construir las expresiones de dicha teoría. En primer lugar, para denotar conjuntos cualesquiera se utilizarán letras mayúsculas del alfabeto latino: A, B, C, ...

1.3. Relación de pertenencia:

1.3.1. Existe una relación fundamental entre un conjunto y cualquiera de sus elementos la cual se denomina relación de pertenencia. Esta relación es precisamente la que afirma que una entidad es un elemento de un conjunto. El enunciado "x pertenece a A" (expresión sinónima: "x es elemento de A")

1.4. Representación de Conjuntos

1.5. REPRESENTACION INTENSIONAL:

1.5.1. Se representará un conjunto en forma intensional mediante una propiedad que debe cumplir cualquier entidad para ser elemento del conjunto de la siguiente forma: { x | P(x)} y se lee "el conjunto de las x tales que x cumple la propiedad P". Ejemplos: a) A = {x | x es estudiante universitario y x tiene menos de 19 años de edad} b) B = {x | x Î ˘ y x < 11}

1.6. Conjuntos distinguidos

1.6.1. Conjunto universo o dominio En la práctica resulta conveniente fijar un conjunto que incluya todas las entidades que ocupan nuestra atención en un momento dado. Vamos a llamar conjunto universo o dominio a este conjunto. Por ejemplo, la teoría de números investiga las propiedades de los números naturales, entonces su dominio es precisamente el conjunto ˘ de los números naturales. En Análisis, el dominio puede ser el conjunto ˙ de los números reales (Análisis Real) o el conjunto ˜ de los números complejos (Análisis Complejo).

1.7. Conjunto vacío

1.7.1. Es posible definir propiedades las cuales no son cumplimentadas por ninguna entidad. Por ejemplo "x es número natural y ¨x es par e impar". Propiedades como la dada definen un conjunto, que no tiene elementos al cual denominaremos conjunto vacío y denotaremos con el símbolo Æ. La relación entre Æ y el resto de los conjuntos es la siguiente: Æ Í A Analice por qué el enunciado anterior satisface la definición de la relación de inclusión. Se volverá sobre el mismo más adelante.

1.8. Intersección de conjuntos

1.8.1. Definición: Dados los conjuntos A y B se obtiene, mediante la operación intersección, denotada mediante el símbolo Ç, un nuevo conjunto que se denota por A Ç B 13 (se lee: "A intersección B") cuyos elementos son aquellos que pertenecen tanto a A como a B a la vez, es decir, A Ç B = { x | x Î A y x Î B} . Ejemplos: a) Sea A = { 1, 2, 3} y B = { 2, 3, 4, 5} , entonces A Ç B = {2,3}

1.9. Algebra de conjuntos

1.9.1. Las propiedades de las operaciones conjuntuales serán objeto de estudio a continuación. Siempre que se tiene una cierta clase de objetos abstractos (en nuestro caso los conjuntos) y se introducen determinadas operaciones entre los mismos (en nuestro caso la unión, la intersección y el complemento), se dice que la clase de objetos junto con las operaciones introducidas entre estos objetos constituye una estructura algebraica. El Álgebra es la parte de la matemática encargada de estudiar las estructuras algebraicas. Son objeto especial de estudio por el álgebra las propiedades que caracterizan a las operaciones en las estructuras algebraicas. Estas propiedades se establecen mediante identidades y reciben comúnmente el nombre de leyes. A continuación, las leyes fundamentales de las operaciones conjuntuales. 1. Leyes de idempotencia (1a) A È A = A (1b) A Ç A = A 2. Leyes asociativas (2a) (A È B) È C = A È (B È C) = A È B È C (2b) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C) = A Ç B Ç C 3. Leyes conmutativas (3a) A È B = B È A (3b) A Ç B = B Ç A

1.10. 1.2. RELACIONES

1.10.1. Considere los siguientes enunciados: a) La tierra gira alrededor de el sol. b) Andrés es tan inteligente como Juan. c) 2 £ 3 d) 5 Î ˘ e) Luis está entre María y Alberto En cada uno de los enunciados anteriores se afirma que una cierta relación se mantiene entre dos o más entidades. Como puede apreciarse en los ejemplos, las relaciones expresan interacción, comparación, orden, pertenencia, situación, etc., entre entidades. Observe que todos los hechos, principios y regularidades que se enuncian, en general todo el conocimiento, se refiere a relaciones que afirmamos se mantienen entre diversas entidades. El concepto de relación es, por lo tanto, una estructura esencial de nuestro razonamiento y su estudio, como se podrá apreciar, ocupa un lugar destacado en la lógica. Como ya ha comenzado a hacerse evidente a través de los desarrollos anteriores, el establecimiento de enlaces definicionales entre conceptos es aspecto esencial y objeto de estudio de la lógica. Analicemos ahora cómo puede lograrse una definición del concepto de relación dentro de la teoría de conjuntos.

1.11. Pares ordenados

1.11.1. Dada una relación, los objetos que la mantienen entre sí pertenecen a un dominio dado. Luego es evidente que una relación podría representarse relacionando todos los pares de elementos de un dominio que mantienen la relación entre sí. Considere el enunciado a) que consta de la relación binaria (relación entre dos entidades) girar alrededor de . El enunciado afirma que dicha relación se mantiene entre los objetos ‘tierra’ y ‘sol’. Luego podemos afirmar que el par de objetos ‘tierra’, ‘sol’, es elemento de la relación girar alrededor de que puede representarse extensionalmnete como un conjunto de pares de objetos en que el uno de los objetos gira alrededor del otro. Observe además que los pares de objetos que constituirían esta relación, por ejemplo, el par ‘tierra’, ‘sol’, no pueden ser dados en cualquier orden, ya que siguiendo con nuestro ejemplo, el par ‘sol’, ‘tierra’ extraído del enunciado falso (y que por mucho tiempo se tomo como verdadero) "el sol gira alrededor de la tierra" no pertenece a la relación en cuestión. De aquí que se expresa un orden y por ello se denomina par ordenado a todo elemento de una relación.

1.12. Relaciones binarias

1.12.1. A partir de la definición de conjunto producto se procede finalmente a definir el concepto de relación. Dado que las relaciones serán representadas extensionalmente como conjutos de tuplos y dado que la noción de par ordenado es la base para la definición de tuplos, no se pierde en generalidad si basamos nuestra exposición en las relaciones binarias.

2. VALIDEZ DE RAZONAMIENTOS LÓGICOS Y LEYES DE INFERENCIA

2.1. RAZONAMIENTO

2.1.1. El método científico consiste en el conjunto de procedimientos para obtener un conocimiento que sea universal y, en principio, reproducible por cualquiera. Desde los inicios de la Modernidad, el conocimiento científico en las ciencias naturales y exactas ha estado ligado a la observación sistemática y a la formulación de dicha observación mediante ecuaciones matemáticas, la llamada matematización de la ciencia, que garantiza tanto su explicación como su factibilidad. Desde el punto de vista de los positivistas, el primer paso en cualquier investigación es la observación, una vez que se ejecuta la observación, surgen una o más preguntas, generadas por la curiosidad del observador, luego, el observador, mediante razonamiento inductivo, trata de dar una o más respuestas lógicas a las preguntas, cada solución tentativa preliminar a estas preguntas, son las hipótesis. Después de que ha enunciado una o más hipótesis, o explicaciones propuestas, el investigador elabora una o más predicciones, las cuales deben ser consistentes con las observaciones e hipótesis. Para hacer esto, el investigador usa el razonamiento deductivo

2.2. MTT

2.2.1. MTT El Modus Tollendo Tollens o MTT Veamos un ejemplo de este razonamiento: Por ejemplo: "Si Juan estudia, aprende", encontramos que Juan no estudia, ¿Que podemos concluir? .... "que Juan no aprende". .. ¿Verdad? Ahora bien, este razonamiento que encontramos tan evidente, corresponde a la segunda ley, la cual es conocida como Modus Tollendo Tollens, y puede ser representada como sigue: p = Juan estudia q = Juan aprende Esta ley de inferencia se representará así: p --> q se lee Si Juan estudia, entonces aprende ¬p se da que Juan no estudia _________ esta línea se lee: en conclusión ¬q se lee Juan no aprende Podemos representar el MTT como: [(p --> q)^¬p]--> ¬q

2.3. SD

2.3.1. Ley de inferencia: SD o Silogismo Disyuntivo Veamos un ejemplo: "Si Juan lanza una moneda, esta puede caer cara o sello", encontramos que la moneda no cae cara. ¿Que podemos concluir? ...... "que la moneda cae sello".....¿verdad? Esta forma de razonar se conoce como Silogismo Disyuntivo o Modus Tollendo Ponens, veamos la representación simbólica: p = La moneda cae cara q = La moneda cae sello p v q = La moneda cae cara o sello (p v q) ^ ¬p = La moneda cae cara o sello, y ocurre que no cae cara [(p v q) ^ ¬p] --> q = La moneda cae cara o sello, yocurre que no cae cara, en conclusión cae sello. En conclusión, esta es la representación del MTP ó SD es: [(p v q)^¬p]--> q Recordemos la segunda representación aprendida: p v q ¬p ___

2.4. SH

2.4.1. SH ó Silogismo Hipotético El silogismo hipotético es otra ley de inferencia lógica muy usada en la construcción de nuestros argumentos, veamos: " Si juan estudia, aprende y si Juan aprende amplía sus opciones de empleo", en conclusión, "Si Juan estudia, amplía sus opciones de empleo". Como puedes apreciar, ésta es otra forma cotidiana de elaborar nuestros argumentos, y es conocida como SH o silogismo hipotético. Representemos la ley en el lenguaje simbólico: Declaración de proposiciones simples: p= Juan estudia q= Juan aprende r = Juan amplía sus posibilidades de empleo Luego la ley será: [(p -->q) ^ (q -->r) ]---> (p-->r) En la segunda representación: p -->q q -->r _____ p-->r

2.5. DC

2.5.1. Dilema Constructivo El dilema constructivo es otra ley de inferencia lógica que usamos cotidianamente en la construcción de nuestros argumentos, veamos: Por ejemplo: " Si juan estudia, aprende y si Juan trabaja recibe dinero", sabemos que, "Juan estudia ó trabaja". ¿Qué podemos concluir? ....claro, que Juan o aprende o recibe dinero....¿estás de acuerdo? Como puedes apreciar, ésta es otra forma cotidiana de elaborar nuestros argumentos, y es conocida como DC o dilema constructivo. Representemos la ley en el lenguaje simbólico: Primero declaramos las proposiciones simples: p= Juan estudia q= Juan trabaja r = Juan aprende s = Juan recibe dinero Luego la ley será: { [ (p -->r) ^(q -->s) ] ^ (p v q) } --> (r v s) En la segunda representación: p -->r q -->s p v q ____ r v s

2.6. Sim, Ad, Conj, Abs

2.6.1. Simplificación Sim "María le comunica a Juan que estudia y trabaja", posteriormente, Juan se encuentra con Diego y le comenta que María estudia. En este momento, Juan a realizado un razonamiento lógico válido, denominado simplificación, dado que Juan ha simplificado la información que le ha dado María. veamos su representación: p ^ q = se lee, María estudia y trabaja ____ p = se lee, en conclusión maría estudia Adición Ad. "María le comunica a Juan que estudia", posteriormente, Juan se encuentra con Diego y le comenta a éste que María estudia ó trabaja. En este momento, Juan a realizado un razonamiento lógico válido, denominado adición, ya que como no recordó las palabras de María, adicionó la actividad "trabaja" pero mediante una disyunción, la cual será válida si María hace cualquiera de las dos cosas. veamos su representación: p = se lee, María estudia ____ p v q = se lee, en conclusión maría estudia ó trabaja Conjunción Conj. "María le comunica a Juan que Diego estudia", Pedro le comunica a Juan que Diego trabaja" ¿Que puede concluir Juan?.... por supuesto, que "Diego estudia y trabaja". En este momento, Juan a realizado un razonamiento lógico válido, denominado conjunción. veamos su representación: p = se lee, Diego estudia q = se lee, Diego trabaja ____ p ^ q= se lee, Diego estudia y trabaja Absorción Abs "Si llueve hace frío", encontramos que llueve, luego es válido concluir que llueve y hace frío. Es decir, que se están dando las dos cosas. veamos su representación: p --> q = se lee, Si llueve, entonces hace frío p =se lee, llueve

3. LÓGICA PROPOSICIONAL

3.1. RAZONAMIENTO LOGICO

3.1.1. Razonamiento Inductivo

3.1.2. En el funcionamiento del pensamiento existen por lo menos dos sistemas: el de representación y el lógico, los cuales están estrechamente conectados, dependiendo el primero de las operaciones lógicas que lo construyen y que determinan la naturaleza de los tratamientos susceptibles de utilizarse sobre el mismo sistema.

3.1.3. Razonamiento Deductivo

3.1.4. Razonamiento Silogístico

3.1.5. Razonamiento Condicional

3.2. DESEMPEÑO DE LOS ESTUDIANTES

3.2.1. El estudiante, puede presentar muchas dificultades a lo largo de su vida universitaria, muchas de ellas debido al nivel de desarrollo cognitivo, como afirman Castro e Iriar te (1991, p. 3 5): “parece que una de las razones para la dificultad de comprender los contenidos escolares se debe a una posible inadecuación entre la capacidad cognitiva del alumno y la estructura de la materia que se le pretende enseñar aunque no pueden olvidarse importantes factores mediatizadores como la motivación, el círculo social y familiar entre otros

3.3. METODOLOGÍA

3.3.1. El enfoque de investigación utilizado en el pre - sente trabajo fue el cuantitativo con un diseño ex post facto donde la variable independiente considerada fue el programa académico al que pertenecían los estudiantes y como variable dependiente el pensamiento lógico.

3.3.2. TÉCNICAS E INSTRUMENTOS

3.3.2.1. La prueba de Razonamiento Silogístico sirve para evaluar la capacidad de razonamiento del alumno exclusivamente sobre silogismos de tipo categorial. Se trata de un ejercicio en el que se plantean en orden aleatorio, 3 2 de los 64 silo - gismos categoriales posibles que se derivan de la combinación sistemática de las cuatro “fig

3.3.3. PROCEDIMIENTO

3.3.3.1. Una vez estandarizada la prueba y establecidos los baremos, se procedió a la selección de la población objetivo a par tir de los estudiantes matriculados en los diferentes programas acadé- micos de la Universidad del Magdalena durante el semestre 2 005-2. Se aplicó la prueba a un total de 1.000 estudiantes de 1 3 programas y seis facultades

3.4. ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS

3.4.1. la información obtenida en la prueba de razo - namiento lógico y sus componentes; posteriormente se hace un análisis correlacional entre el razonamiento lóg ico y sus componentes para determinar la consistencia de la prueba y final - mente, se hace un análisis inferencial, utilizando la prueba análisis de varianza a un factor para dos y más g rupos y la prueba no-paramétrica de Kruskal W allis, para determinar si existían diferencias estadísticamente significativas entre la prueba de razonamiento lógico y las variables propias de los individuos de la población objeto de estudio.

3.4.2. ANÁLISIS DESCRIPTIVO

3.4.2.1. El análisis de los resultados se realizó en primera instancia desde una perspectiva exploratoria con el fin de describir las categorías generales del estudio, para luego analizar las dimensiones más particulares del mismo.