1. Cuando (a 1 b)n se desarrolla para un entero positivo arbitrario n, los exponentes de a y b siguen un patrón definido
2. Coeficientes Los coeficientes en el desarrollo de (a 1 b)n también siguen un patrón. Para ilustrarlo, disponemos los coeficientes en los desarrollos de (a 1 b)0, (a 1 b)1, (a 1 b)2, (a 1 b)3 y (a 1 b)4 en forma triangular 11 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1
3. Notacion factorial Antes de dar una fórmula general para el desarrollo de (a 1 b)n, será útil introducir la notación factorial. El símbolo r! se define para cualquier entero positivo r como el producto r! 5 r(r 2 1) ? (r 2 2) … 3 ? 2 ? 1, (4)
4. Teorema 15.5.1 Teorema del binomio Para cualquier número entero positivo n, 1 c1 n(n 2 1) c (n 2 r 1 1) r! an2rbr 1 c1 bn.
5. Katherine Andaluz 4to A - #3
6. Notación sigma El teorema del binomio puede expresarse de manera compacta con la notación sigma. Usando (6) y (8), las sumas en (5) y (9) se pueden escribir así: o (a 1 b)n 5 a n k50 a n k ban2kbk, ( a 1 b)n 5 a n k50 n(n 2 1) # # # (n 2 k 1 1) k! an2kbk respectivamente. En estas formas es evidente que como el índice de suma empieza en 0 y termina en n, el desarrollo del binomio contiene n 1 1 términos. La siguiente propiedad del coeficiente binomial a n r b tiene una función central en la demostración del teorema del binomio. Para cualquier número entero r, 0 r # n, tenemos a n r 2 1 b 1 a n r b 5 a n 1 1 r b.
7. Desarrolle (3 2 x)5. Solución Del análisis anterior, con a 5 3 y b 5 2x, podemos escribir 5 243 2 405x 1 270x2 2 90x3 1 15x4 2 x5. 51(3)515(3)4(2x) 110(3)3(2x)2110(3)2(2x)315(3)(2x)411(2x)5 (32 x)5 5 (31 (2x))5
