CÁLCULO INTEGRAL
por Gabriela Garcia
1. Definición
1.1. El cálculo integral es la operación inversa a la derivación, razón por la cual también puede ser llamada "anti-derivación". Esto consiste en pasar una expresión ya derivada a su forma sin derivar Ejemplo: Si derivamos la siguiente función F(x) = (3x^2) dx = 6x Partiendo de la derivada dx=6x para llegar a la función original se usa la integración o anti-derivación entonces: ∫(6x)dx = (3x^2) + K
2. Notación
2.1. La s curva y alargada "∫" denotan la anti-derivación. El símbolo se llama símbolo de la integral. ¿Cómo expresar la operación? Después del símbolo "∫" se pone entre paréntesis la función que desea evaluarse seguida por la especificación de la variable con respecto a la cual se va a anti-derivar Ejemplo: F'(x) = 6x^2 Entonces la integral se expresaría de la siguiente manera: ∫(6x^2) dx
2.1.1. Existe algo llamado "Familia de funciones". Estas son un grupo de funciones con la misma derivada. Ejemplo: f(x) = (4x^2) + 12 f'(x) = 8x f(x) = (4x^2) + 38 f'(x) = 8x En estos casos para encontrar una anti-derivada que unifique todas las posibles soluciones de la integral se suma al final de la expresión una "K", la cual representa todas las posibles constantes que acompañan a diferentes funciones, representando así una generalización para diferentes familias de funciones Retomando el ejemplo anterior: ∫(8x) dx = (4x^2) + K Esta función general incluye tanto al primer ejemplo de función, como al segundo, además de otras funciones que pertenezcan a esa familia de funciones
2.2. Existe algo llamado "Familia de funciones". Estas son un grupo de funciones con la misma derivada. Ejemplo: f(x) = (4x^2) + 12 f'(x) = 8x f(x) = (4x^2) + 35 f'(x) = 8x En estos casos para encontrar una anti-derivada que unifique todas las posibles soluciones de la integral se suma al final de la expresión una "K", la cual representa todas las posibles constantes que acompañan a diferentes funciones, representando así una generalización para diferentes familias de funciones Retomando el ejemplo anterior: ∫(8x) dx = (4x^2) + K Esta función general incluye tanto al primer ejemplo de función, como al segundo, además de otras funciones que pertenezcan a esa familia de funciones
3. Métodos de integración
3.1. Directa Los casos en los que se encuentran expresiones simples de integrar se hacen de manera directa por medio de la siguiente fórmula (teniendo en cuenta siempre las propiedades de la integración explicadas en el título a la derecha) Ejemplo: ∫(4x^3)dx = x^4
3.2. Mediante manipulación aritmética En casos más complejos en los cuales se puedan usar trucos aritméticos para simplificar el proceso de integración, se realizan los procesos algebraicos necesarios para facilitar el desarrollo del ejercicio. Ejemplo: ∫(3x + 3)^2 dx = ∫((9x^2) + 12x + 9)dx = (3x^3) + 6x^2 + 9x En este caso se resolvió el binomio cuadrado para dejar la expresión en términos de suma y simplificar el proceso de integración
3.3. Mediante el uso de identidades trigonométricas Si no son fáciles de resolver las funciones al momento de integrar, es importante tener presentes las identidades trigonométricas para transformar la función en una que sea más sencilla de integrar Identidades: sin^2(x) + cos^2(x) = 1 sin^2(x) = (1 - cos(2x)) / 2 cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2 Ejemplo: ∫(sinx/cscx + cosx/secx) dx = ∫(sinx / (1/sinx) + cosx / (1/cosx))dx= ∫(sin^2(x) + cos^2(x)) dx = ∫1 dx = x+k
3.4. Sustitución Existen casos en los que mediante ninguna de las formas mencionadas anteriormente se logra llegar a una expresión simplificada para poder integrar fácilmente. En estos casos se puede usar la sustitución como método de solución. Este consiste en coger una parte de la función y darle nombre "u" para simplificar la expresión, resolverla, y volver a reemplazar por el valor original una vez llegada a una respuesta. Ejemplo: ∫(sinx cosx)dx = u=sinx ; sustituir du=cosx dx ∫(u)du = (u^2)/2 + k ; Reemplazar variable ∫(sinx cosx)dx = sin^2(x) / 2 + k
4. Propiedades
4.1. SUMA Cuando se encuentra una suma dentro de la función a integrar, se saca la integral independiente de cada una y se suman Ejemplo: ∫(2x^3 + 3x^2 + 5)dx = ∫(2x^3)dx + ∫(3x^2)dx + ∫5 dx = (x^4)/2 + x^3 + 5x + k
4.2. Constantes que acompañan la función Cuando una constante multiplica la función a integrar, esta puede salir de la integración y multiplicar al resultado de esta Ejemplo: ∫(4x^4)dx = 4∫(x^4)dx = 4*(x^5 / 5) + k
4.3. ∫x^n = (x^(n+1) / (n+1)) + k
4.4. NO HAY PROPIEDADES que muestren un proceso específico para la multiplicación y la división como lo había en la diferenciación, en estos casos se debe optar por uno de los métodos de integración expuestos en el título anterior a este
4.5. Al integrar se está buscando la anti-derivada, por lo que: ∫(1/x)dx = ln|x| + k ∫(cosx)dx = sinx + k ∫(sinx)dx = -cosx + k ∫(sec^2(x))dx = tanx + k ∫(csc^2(x))dx = -cotx + k ∫(sec(x)tan(x))dx = secx + k ∫(csc(x)cot(x))dx = -cscx + k ∫(e^x)dx = (e^x) + k ∫(a^x)dx = ((a^x) / lna ) + k ∫|x|dx= ((x|x|) / 2) + k
5. Duran, Esteban. "Cálculo II Grupo 4". Colegio de Estudios Superiores de Administración CESA. julio - Agosoto 2016
