ÁLGEBRA DE MATRICES

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ÁLGEBRA DE MATRICES por Mind Map: ÁLGEBRA DE MATRICES

1. INVERSA DE UNA MATRIZ

1.1. DADA UNA MATRIZ CUADRADA  A,  SI EXISTE OTRA MATRIZ  B DEL MISMO ORDEN QUE VERIFIQUE:  A . B = B . A = I  (  I = MATRIZ IDENTIDAD ), SE DICE QUE  B  ES LA MATRIZ INVERSA DE  A  Y  SE REPRESENTA POR  A-1. SI EXISTE LA MATRIZ INVERSA  DE  A, SE DICE QUE LA MATRIZ  A ES INVERSIBLE O REGULAR. EN CASO CONTRARIO, SE DICE QUE LA MATRIZ  A  ES SINGULAR.

1.2. ¿CUÁNDO TIENE INVERSA UNA MATRIZ?

1.2.1. UNA MATRIZ A DE ORDEN N (N FILAS Y N COLUMNAS) TIENE INVERSA CUANDO SU RANGO ES N, ES DECIR, CUANDO EL RANGO DE DICHA MATRIZ COINCIDE CON SU ORDEN.

1.3. ¿CÓMO SE PUEDE CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ?

1.3.1. HAY TRES PROCEDIMIENTOS PARA CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ:

1.3.1.1. APLICANDO LA DEFINICIÓN Y RESOLVIENDO LOS SISTEMAS DE ECUACIONES CORRESPONDIENTES. AUNQUE RESULTA MUY LABORIOSO CUANDO EL ORDEN DE LA MATRIZ ES SUPERIOR A  2.

1.3.1.1.1. ESTE PROCEDIMIENTO ES BASTANTE LABORIOSO Y POCO RECOMENDABLE CUANDO EL ORDEN DE LA MATRIZ ES MAYOR QUE 2, PUES, POR EJEMPLO, PARA UNA MATRIZ DE ORDEN 3 HAY QUE RESOLVER 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, CADA UNO DE ELLOS CON TRES ECUACIONES Y TRES INCÓGNITAS.

1.3.1.2. MÉTODO DE GAUSS.

1.3.1.2.1. PARA CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA  A, APLICANDO EL MÉTODO DE GAUSS, CONSTRUIMOS, EN PRIMER LUGAR,  LA MATRIZ  ( A | I ), SIENDO  I  LA MATRIZ IDENTIDAD DEL MISMO ORDEN QUE  A. DESPUÉS DE REALIZAR DIVERSAS OPERACIONES SOBRE LAS FILAS DE ÉSTA  NUEVA MATRIZ, TENDREMOS QUE CONSEGUIR QUE SE TRANSFORME EN LA SIGUIENTE  ( I | B ).  LA MATRIZ  B  SERÁ LA INVERSA DE LA MATRIZ  A,  ES DECIR:  B = A-1. LAS OPERACIONES QUE PODEMOS REALIZAR CON LAS FILAS DE LA CITADA MATRIZ SON: A) MULTIPLICAR O DIVIDIR UNA FILA POR UN NÚMERO DISTINTO DE CERO. B) SUMARLE A UNA FILA OTRA FILA MULTIPLICADA POR UN NÚMERO DISTINTO DE CERO.

1.3.1.3. DETERMINANTES Y ADJUNTOS

2. OPERACIONES CON MATRICEZ

2.1. SUMA DE MATRICES

2.1.1. DEFINICION

2.1.1.1. PARA QUE DOS MATRICES "A" Y "B" SE PUEDAN SUMAR TIENEN QUE TENER LA MISMA DIMENSIÓN Y, EN ESTE CASO, SE SUMAN LOS ELEMENTOS QUE OCUPAN LA MISMA POSICIÓN.

2.2. PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES

2.2.1. 1ª  Conmutativa:    A + B = B + A 2ª  Asociativa:    ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 3ª  Elemento neutro:   0 + A = A + 0 = 0 4ª  Elemento simétrico:  ( matriz opuesta de A ).     A  + ( -A ) = ( -A ) + A = 0 La opuesta de la matriz  A  se obtiene cambiando de signo todos los elementos de la matriz  A:  - (aij) = (-aij).

2.3. DIFERENCIA DE MATRICEZ

2.3.1. DEFINICION

2.3.1.1. LA DIFERENCIA DE MATRICES ES UN CASO PARTICULAR DE LA SUMA. RESTAR DOS MATRICES ES LO MISMO QUE SUMARLE A LA PRIMERA LA OPUESTA DE LA SEGUNDA: A - B = A + ( -B ).

2.4. PRODUCTO DE UNA NUMERO REAL POR  UNA MATRIZ

2.4.1. DEFINICION

2.4.1.1. EL PRODUCTO DE UNA MATRIZ A = (AIJ) POR UN NÚMERO REAL K ES OTRA MATRIZ B = (BIJ) DE LA MISMA DIMENSIÓN QUE A Y TAL QUE CADA ELEMENTO BIJ DE B SE OBTIENE MULTIPLICANDO AIJ POR K, ES DECIR, BIJ = K•AIJ.

2.4.2. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ

2.4.2.1. Sean A y B matrices de la misma dimensión y k y h números reales. Se verifica: 1ª Distributiva respecto de la suma de matrices: k . ( A + B ) = k . A + k . B 2ª Distributiva respecto de la suma de números reales: ( k + h ) . A = k . A + h . A 3ª Asociativa mixta (entre números y matrices): ( k . h ) . A = k . ( h . A ) 4ª Elemento neutro: 1 ( número real 1 ) 1 . A = A

2.5. PRODUCTO DE UNA MATRIZ

2.5.1. DEFINICION

2.5.1.1. DOS MATRICES A Y B SE DICEN MULTIPLICABLES SI EL NÚMERO DE COLUMNAS DE A COINCIDE CON EL NÚMERO DE FILAS DE B. EL ELEMENTO CIJ DE LA MATRIZ PRODUCTO SE OBTIENE MULTIPLICANDO CADA ELEMENTO DE LA FILA I DE LA MATRIZ A POR CADA ELEMENTO DE LA COLUMNA J DE LA MATRIZ B Y SUMÁNDOLOS.

2.5.2. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UNA MATRIZ

2.5.2.1. SEAN  A, B  Y  C  MATRICES. SIEMPRE QUE SEA POSIBLE EFECTUAR LOS PRODUCTOS INDICADOS, DE ACUERDO CON LA CONDICIÓN ANTERIOR, SE VERIFICA: 1ª  ASOCIATIVA:    ( A . B) . C = A . ( B . C ) 2ª  ELEMENTO NEUTRO:   I   ( MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD )       A . I = I . A = A 3ª  DISTRIBUTIVA RESPECTO DE LA SUMA DE MATRICES:   A . ( B + C ) = A . B + A . C 4ª  EL PRODUCTO DE MATRICES NO ES, EN GENERAL, CONMUTATIVO:  A . B  ≠  B . A 5ª  MATRIZ INVERSA:  DADA UNA MATRIZ CUADRADA  A, SI EXISTE OTRA MATRIZ  B  QUE VERIFIQUE  A . B  =  B . A = I  (MATRIZ IDENTIDAD), ENTONCES SE DICE QUE  B  ES LA MATRIZ INVERSA DE  A  Y SE REPRESENTA POR  A-1.     ( A . A-1 = A-1 . A = I )

3. DEFINICIÓN DE MATRIZ

3.1. SE PUEDE DEFINIR UNA MATRIZ, COMO UN CONJUNTO DE ELEMENTOS (NÚMEROS) ORDENADOS EN FILAS Y COLUMNAS.

4. TIPOS DE MATRICES

4.1. MATRIZ FILA: Una matriz fila esta constituida por una sola fila.

4.2. MATRIZ COLUMNA: Tiene una sola columna

4.3. MATRIZ RECTANGULAR: Tiene distinto numero de filas que de columnas.

4.4. MATRIZ CUADRADA: Tiene el mismo numero de filas y de columnas.

4.5. MATRIZ NULA: En una matriz nulas todos los elementos son cero.

4.6. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: Los elementos situados por debajo de la diagonal principal son cero.

4.7. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: Los elementos encima de la diagonal principal son cero.

4.8. MATRIZ DIAGONAL: Todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

4.9. MATRIZ ESCALAR: Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

4.10. MATRIZ INDENTIDAD: Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1

4.11. MATRIZ TRASPUESTA: Se denomina de esta manera porque se obtiene cambiando ordanadamente las filas por las columnas.

4.12. MATRIZ RECTANGULAR: Es una matriz cuadrada que tiene inversa

4.13. MATRIZ SINGULAR: No tiene inversa

5. IGUALDAD DE UNA MATRIZ

5.1. DOS MATRICES SON IGUALES CUANDO OCUPAN LA MISMA DIMENSIÓN Y LOS ELEMENTOS QUE OCUPAN LA MISMA POSICION EN AMBAS SON IGUALES