1. DEFINICIÓN DE LA DERIVADA
1.1. Definición formal. Si está definida sobre un intervalo abierto , entonces para cada dos puntos distintos y de podemos considerar el cociente de diferencias llamado cociente incremental.
2. Fermat (1601 - 1665) en el año 1638 presentó un método para encontrar máximos y mínimos en una ecuación algebraica la cual fue generalizada años después por el Holandés Johannes Hudde.
2.1. El primer problema fue la determinación de la velocidad y la aceleración de un cuerpo si se conoce la distancia en función del tiempo. El segundo fue el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes determinados por curvas o superficies. El tercero fue determinar cuándo una función alcanza un valor máximo o mínimo y el último problema estaba asociado a la geometría y era como calcular las rectas tangentes o normales a una curva en un punto.
2.1.1. Newton y Leibniz demostraron que con métodos infinitesimales se resolvían los anteriores problemas planteados.
2.1.2. Fermat (1601 - 1665) en el año 1638 presentó un método para encontrar máximos y mínimos en una ecuación algebraica la cual fue generalizada años después por el Holandés Johannes Hudde.
2.1.3. También Fermat descubrió un método para calcular la pendiente de una recta tangente a una curva algebraica “antecedente del concepto de la derivada”. Método que se puede reducir al cálculo del siguiente límite.
3. Newton descubrió y construyo el cálculo diferencial e integral en los años 1665 a 1666 publicando sus resultados en sus libros De analysi per aequationes numero terminorum infinitas publicado en 1711, Methodus fluxionum et serierum infinitorum plublicado en ingles en 1736 y en latín en 1742 dándole a su cálculo el nombre de Teoría de fluxiones a las funciones x, y, z eran fluentes y las derivadas las llamaba fluxiones
3.1. Newton señalaba “Cantidades y razón de cantidad, que en cualquier intervalo finito de tiempo convergen continuamente a la igualdad, y que antes del final de dicho tiempo se aproximan una a la otra más que cualquier diferencia dada, se hacen finamente iguales”, considerando el límite de una función o “el de la derivada” en su libro Philosophie naturalis principia mathematica (1687) , lema I del libro I, sección I .
3.2. Leibniz bajo la influencia de Huygens, le dio importancia al cálculo de las tangentes a las curvas estando seguro que se trataba de un método inverso al de encontrar áreas y volúmenes a través de sumas. En 1676 Leibniz ofreció las reglas para un entero o fraccional. En julio de 1677 Leibniz ofreció las reglas correctas para la diferencial de la suma, diferencia, producto y cociente dos funciones.
3.2.1. Su método se recoge por primera vez en un artículo publicado en la revista Acta eruditorum en 1684 enunciándolo como”Un nuevo método para máximos y mínimos y también tangentes, que no se ven obstruido por las cantidades fraccionarias ni por los irracionales”. Método que se trataba de una aproximación geométrica y no cinemática como en Newton. El artículo contenía los símbolos que representaban para
3.2.2. Leibniz cantidades arbitrariamente pequeñas (diferenciales o infinitesimales) con las cuales construyo su cálculo diferencial “calculo de tangentes”
3.2.3. Cauchy describió la derivada en su libro Resumé des leçons sur le calcul infinitesimal (1823) Tercera Lección “cuando la función es continua entre dos limites dados de la variable x, y se asigna a esta variable un valor comprendido entre dichos limites, un incremento infinitamente pequeño de la variable produce un incremento infinitamente pequeño de la función. Por consiguiente si , entonces los dos términos de la razón entre las diferencias serán dos cantidades infinitamente pequeñas. Sin embargo, mientras estos dos términos se aproximan indefinidamente y simultáneamente al límite cero, la razón podrá converger a otro limite positivo o negativo.
4. PRIMEROS ANTECEDENTES SOBRE LO INFINITAMENTE PEQUEÑO
4.1. Pitágoras de Samos (580? – 500? A.C) fue uno de los primeros en definir lo infinito afirmando “La evolución es la ley de la vida. El número es la ley del universo. La unidad es la ley de Dios” amarrando el infinito a la divinidad
4.1.1. Años después las teorías matemáticas que permiten manejar el infinito como cantidad es decir; lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande han tenido una larga historia que aun no termina y que actualmente se conoce como “Matemática no estándar” por un lado y por otro como “Geometría Diferencial Sintética”. Estas teorías iniciaron con Demócrito y Arquímedes quienes afirmaron que la línea estaba constituida por segmentos de longitud infinitamente pequeña. Por ejemplo una circunferencia es un polígono regular cuyos lados son infinitesimales o infinitésimos.
5. DEFINICIÓN DE LA DERIVADA.
5.1. Si está definida sobre un intervalo abierto , entonces para cada dos puntos distintos y de podemos considerar el cociente de diferencias llamado cociente incremental.
5.2. Sea f una función real definida en un intervalo abierto , y supongamos que . Diremos que f es diferenciable en c siempre que el límite existe. El limite, designado por se llama derivada de en
5.2.1. Este método de calcular límites define una nueva función , cuyo dominio está formado por aquellos puntos de en los que se llama primera derivada de . La derivada de designada por ,”
5.3. Definición de la derivada como una pendiente
5.3.1. El método de Fermat para calcular la pendiente fue desarrollado durante 1630 y, aunque no es riguroso, es tan exacto como el utilizado posteriormente por Newton y Leibniz, sin utilizar el concepto de límite. Con una misteriosa , Fermat desarrollo un método para hallar tangentes a curvas planas.
5.4. Definición de la derivada como cociente incremental.
5.4.1. Leibniz con sus trabajos por encontrar un método general para hallar la tangente a una curva dieron origen a la noción de derivada como el cociente incremental o el cociente de diferencias de una función ,
5.5. Definición de la derivada por el método de Fluxiones
5.5.1. Newton concibe las cantidades matemáticas como el movimiento continuo de un punto que traza una curva. Cada una de estas cantidades variables que aparecen x, y,. . ., las llama “fluentes” y sus velocidades, designadas por …, las llama “fluxiones”. La parte infinitesimal pequeña en la que un fluente se incrementa por unidad infinitesimal de tiempo o, es el momento del fluente.
5.6. Definición de la derivada en física.
5.6.1. Stewart afirma “La derivada de la función posición de un móvil en el tiempo se interpreta como la velocidad instantánea del móvil en ese tiempo
6. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
6.1. Apóstol [10] en su libro afirma que este método para definir la derivada conduce a la idea geométrica de la tangente a una curva. En la figura 2 se observa una parte de la grafica de una función . Las coordenadas de los puntos son respectivamente .
7. TENDENCIAS SOBRE LA ENSEÑANZA DE LA DERIVADA.
7.1. Tomando como referencia al Doctor Dolores [11] quien afirma que la orientación y enseñanza del concepto de la Derivada han sido marcados por dos tendencias. La primera donde se desarrolla el enfoque clásico formal bajo la estructura del análisis matemático para finalmente buscar sus aplicaciones. Y una segunda donde se busca el desarrollo del pensamiento matemático desde la resolución de problemas de modo que los conceptos básicos se forman a partir de la resolución de los mismos, como el problema de la tangente, razón de cambio y significados físicos.
7.1.1. Enfoque Algebraico. Prioriza el trabajo con los algoritmos. Ejemplo limite del cociente incremental cuando tiende a cero.
7.1.2. Enfoque numérico: se caracteriza por el uso de sucesiones numéricas, al usar el límite de funciones
7.1.3. Enfoque formal: sigue la secuencia clásica de contenido. Iniciando con conjunto de los números Reales; concepto de función; definición de límite en términos de ; definición rigurosa de continuidad por medio del límite; para al final plantear los teoremas y algoritmos necesarios para llegar a la derivada como consecuencia del límite; reglas de derivación y por último las aplicaciones.
7.1.4. Enfoque infinitesimal: la estructura de los contenidos básicos del cálculo se organiza mediante una especie de isomorfismos respecto de los contenidos tradicionales. Primero se caracteriza el conjunto de los números Hiperreales
7.1.5. Enfoque aproximación afín local. Para introducir el concepto de derivada se parte de la idea de coeficiente direccional (pendiente) de la recta para definir la pendiente de la secante. Para introducir la idea de tangente como el límite de una sucesión de secantes y con ello se establece la noción de aproximación afín.
8. La definición de derivada se presenta en los siguientes términos
8.1. Sea f una función definida en el intervalo y . Decir que el número real es la derivada de en significa que la primera o la segunda de las condiciones siguientes se cumplen: 1 La función tiene por limite si tiende a cero (0). 2.- Para todo número real suficientemente próximo a 0, donde la función tiene por límite 0 cuando tiende a 0.
8.1.1. Enfoque geométrico desde este punto de vista la derivada es la tasa de cambio a la que está cambiando , comparada con respecto a , es decir, es la pendiente de la tangente a la grafica de ene l valor . Puede aproximarse encontrando la pendiente de la secante. Ver grafica 4. La cual se puede calcular como:
8.1.2. Enfoque variacional En el primer caso se propone remover el discurso matemático escolar desde el fondo, cambiando el papel principal que los cursos de cálculo confieren al concepto de límite y poniendo en su lugar a la variación física, de tal manera que no se sugiere tratar tan exhaustivamente las funciones, sino más bien las cantidades y las magnitudes. Al concretar estas ideas, se parte de las razones de cambio promedio obtenidas del estudio de fenómenos de la vida diaria y se arriba a la derivada como razón de cambio instantánea por medio de un manejo intuitivo del límite
8.1.3. Enfoque computacional Los computadores han hecho realidad la posibilidad de la visualización dinámica del comportamiento gráfico de las funciones, de observar mediante simulaciones iterativas cómo la sucesión de secantes tiende a la tangente de racionalizar considerablemente el trabajo con los métodos numéricos