1. Partición de un conjunto: Dado un conjunto A, una partición de A es una colección de subconjuntos de A que cumplen: 1) los subconjuntos no son vacíos, 2) los subconjuntos son disjuntos dos a dos, 3) la unión de todos los subconjuntos son el conjunto A, o sea: Veamos primero un ejemplo: A={1,2,3,4}. Una partición de A es B={2} C={1,3,4} 1. B≠∅, C≠∅ 2. B ∩ C=∅ 3. B∪C=A En general, los conjuntos Ai forman una partición en A si verifican estas 3 condiciones: * Ai ≠ ∅ Ningún conjunto es vacío. * Ai ∩ Aj = ∅ ∀ i≠j Los conjuntos son disjuntos; no tienen elementos en común. * 1 n i i A A = ∪ = Este símbolo significa que la unión de todos los subconjuntos forman A.
2. Conjunto cociente: Dada una relación de equivalencia R sobre un conjunto A, esta relación determina sobre dicho conjunto una partición. Es decir, supongamos que dicha relación R determinó sobre A, las clases de equivalencia [a1], [a2], [a3],…,[an] , entonces: 1) las clases no son vacías, 2) las clases son disjuntas dos a dos, y 3) la unión de todas las clases es el conjunto A, o sea: 1. [ai]≠∅, ∀ i=1;2;…;n 2. [ai] ≠ [aj], ∀ i≠j 3. [a1]∪[a2]∪[a3]∪…∪[an]=A Llamaremos conjunto cociente y lo representaremos A/R, al conjunto de todas las clases de equivalencia determinadas por R sobre A. A/R={[a] / a ∈ A}
3. Relación inversa: Dados dos conjuntos A, B y una relación R ⊆ AxB; una relación entre ellos se denomina relación inversa de R, y se representa por R-1, a la relación que asocia a los elementos de B con los de A, asociados a través de R. R-1 ={(b,a) ∈ AxB / (a,b) ∈ R}
4. Relación de equivalencia Definición: Una relación R sobre un conjunto A es una relación de equivalencia si R es una relación reflexiva, simétrica y transitiva. Ejemplo: R = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,3), (3,4), (1,4), (3,1), (4,3), (4,1) } Clases de equivalencia: Dada una relación de equivalencia R sobre un conjunto A, llamaremos clase de equivalencia del elemento “a” de A, y lo indicaremos [a]R ó Ca , al subconjunto de A integrado por los elementos relacionados a dicho elemento. O sea: [a]R ={x ∈ A / x R a} Propiedades: 1. Las clases de equivalencia no son vacías, ya que por lo menos la integra el elemento que le da nombre. 2. [a]R =[b]R ⇔ a R b, es decir que dos clases de equivalencia son iguales si (a,b) ∈ R. 3. [a]R ≠ [b]R ⇔ [a]R ∩[b]R=∅
5. Conjunto cociente: Dada una relación de equivalencia R sobre un conjunto A, esta relación determina sobre dicho conjunto una partición. Es decir, supongamos que dicha relación R determinó sobre A, las clases de equivalencia [a1], [a2], [a3],…,[an] , entonces: 1) las clases no son vacías, 2) las clases son disjuntas dos a dos, y 3) la unión de todas las clases es el conjunto A, o sea: 1. [ai]≠∅, ∀ i=1;2;…;n 2. [ai] ≠ [aj], ∀ i≠j 3. [a1]∪[a2]∪[a3]∪…∪[an]=A Llamaremos conjunto cociente y lo representaremos A/R, al conjunto de todas las clases de equivalencia determinadas por R sobre A. A/R={[a] / a ∈ A} Relación inversa: Dados dos conjuntos A, B y una relación R ⊆ AxB; una relación entre ellos se denomina relación inversa de R, y se representa por R-1, a la relación que asocia a los elementos de B con los de A, asociados a través de R. R-1 ={(b,a) ∈ AxB / (a,b) ∈ R}
6. Propiedades de Relaciones de A en A Para ejemplificar las propiedades de las relaciones utilizaremos el conjunto A={1,2,3,4}
7. Propiedad reflexiva (o idéntica): Una relación R sobre un conjunto A es reflexiva si para todo x ∈ A entonces (x,x) ∈ R. En otras palabras una relación es reflexiva si todo elemento del conjunto sobre el que está definida, está relacionado consigo mismo. ∀ x ∈ A se cumple que (x,x) ∈ R. Ejemplo: R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} Otro ejemplo: R2 = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (2,3), (1,4) } Propiedad antirreflexiva, también llamada irreflexiva: Una relación R sobre un conjunto A es antirreflexiva si para todo x ∈ A se cumple que (x,x) ∉ R, es decir que ∀ x ∈ A se cumple que x no está relacionado consigo mismo. Ejemplo: R = { (1,2), (2,1), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4) } Propiedad simétrica: Una relación R sobre un conjunto A es simétrica si para todo x ∈ A, y ∈ A, si (x,y) ∈ R entonces (y,x) ∈ R. Dicho de otra forma: ∀ x,y ∈ A se cumple que si (x,y) ∈ R entonces (y,x) ∈ R Ejemplo: R = { (1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (4,2), (4,4) } Propiedad antisimétrica : Una relación R sobre un conjunto A es antisimétrica si para todo x ∈ A, y ∈ A, si x R y e y R x entonces x=y. De nuevo: ∀ x,y ∈ A se cumple que si (x,y), (y,x) ∈ R entonces x=y. Ejemplo: R={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} Pregunta: Si el par (1,3) pertenece a la relación, ¿podría estar el par (3,1)? Según la definición, si esta el (1,3) y está el (3,1) entonces debería ser 1=3, absurdo!!! Propiedad asimétrica: Una relación R sobre un conjunto A es asimétrica si para todo x ∈ A, y ∈ A, si (x,y) ∈ R entonces (y,x) ∉ R. Dicho de otra forma: ∀ x,y ∈ A se cumple que si (x,y) ∈ R entonces (y,x) ∉ R Ejemplo: R = { (1,2), (1,3), (2,4), (4,3) } Propiedad transitiva: Una relación R sobre un conjunto A es transitiva si para todo x ∈ A, y∈ A, z∈ A si (x,y) ∈ R y (y,z) ∈ R entonces (x,z) ∈ R. ∀ x,y,z ∈ A se cumple que si (x,y), (y,z) ∈ R entonces (x,z) ∈ R. Ejemplo: R={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}
8. Relaciones de Orden Relación de orden parcial: Una relación R sobre un conjunto A es una relación de orden parcial si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Ejemplo: La relación “inclusión” entre conjuntos es de orden parcial. • Reflexiva: ∀ A, se cumple que A ⊆ A. • Antisimétrica: ∀ A,B se cumple que si A ⊆ B y B ⊆ A entonces A=B • Transitiva: ∀ A,B,C se cumple que si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C Observación: Existen conjuntos no vacíos que no son comparables, es decir que A ∩ B=∅, cumplen que A no está incluido en B, y viceversa, B no está incluido en A. Relación de orden total: Una relación R sobre un conjunto A es una relación de orden total si R es de orden parcial, pero además cumple que todos sus elementos están relacionados, es decir que ∀ x,y ∈ A, se cumple que x R y o bien y R x. ∀ x,y ∈ A, se cumple que (x,y) ∈ R o bien (y,x) ∈ R. Ejemplo: La relación “menor o igual” en el conjunto de los números reales es de orden total. • Obviamente cumple con las propiedades mencionadas • Además todos los elementos son comparables pues dados dos números reales x e y podemos decidir si: x ≤ y, y ≤ x ó x=y, cosa que no ocurre con la “inclusión” del ejemplo anterior.
9. Partición de un conjunto: Dado un conjunto A, una partición de A es una colección de subconjuntos de A que cumplen: 1) los subconjuntos no son vacíos, 2) los subconjuntos son disjuntos dos a dos, 3) la unión de todos los subconjuntos son el conjunto A, o sea: Veamos primero un ejemplo: A={1,2,3,4}. Una partición de A es B={2} C={1,3,4} 1. B≠∅, C≠∅ 2. B ∩ C=∅ 3. B∪C=A En general, los conjuntos Ai forman una partición en A si verifican estas 3 condiciones: * Ai ≠ ∅ Ningún conjunto es vacío. * Ai ∩ Aj = ∅ ∀ i≠j Los conjuntos son disjuntos; no tienen elementos en común. * 1 n i i A A = ∪ = Este símbolo significa que la unión de todos los subconjuntos forman A.
