2. Y la desviación de la siguiente forma: s = Ö npq donde : n= número de ensayos. P= probabilidad de éxito. Q= probabilidad de fracaso. Ejemplo: Una máquina empaquetadora que produce 20% de paquetes defectuosos. Si se extrae una muestra aleatoria de 10 paquetes, podremos calcular la media y la desviación estándar de la distribución binomial de ese proceso en la forma que sigue: m = np = 10*0.2 = 2 Media s = Ö npq = Ö (10) (0.2) (0.8) = Ö 1.6 = 1.265 Desviación estándar.
3. Existe una fórmula binomial: Probabilidad de r éxitos en n ensayos es : N! / R! (N-R)! PR QN-R Recordemos que el símbolo factorial! Significa por ejemplo que es 3! = 3*2*1 = 6 Los matemáticos definen 0! = 1.
4. La distribución normal es una distribución con forma de campana donde las desviaciones estándar sucesivas con respecto a la media establecen valores de referencia para estimar el porcentaje de observaciones de los datos. Estos valores de referencia son la base de muchas pruebas de hipótesis, como las pruebas Z y t.
5. La distribución binomial se puede expresar de forma gráfica Imaginemos una escuela primaria donde los alumnos llegan tarde a menudo. Cinco alumnos están en el jardín de niños. La directora lleva tiempo estudiando el problema, habiendo llegado a la conclusión de que hay una probabilidad de 0.4 de que un alumno llegue tarde y de que los alumnos lleguen independientemente uno de otro ¿Cómo trazamos una distribución binomial de probabilidad que ilustre las probabilidades de que 0,1,2,3,4 ó 5 estudiantes lleguen tarde simultáneamente? Para hacerlo necesitaremos utilizar la fórmula binomial donde :
6. En estadística , la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que indica el número de éxitos al realizar una secuencia de n ensayos independientes entre sí, con una probabilidad fija (p) de ocurrencia del éxito entre esos ensayos. Una variable discreta es aquella que solo puede tomar un número finito de valores entre dos valores cualesquiera de una característica.
9. Medidas de tendencia central y de dispersión para la distribución binomial. La distribución binomial tiene un valor esperado o media ( m ) y una desviación estándar ( s ) y deberemos ser capaces de calcular esas dos medidas estadísticas. Podemos representar la media de una distribución binomial de la siguiente forma: m = n p donde : n= número de ensayos. P= probabilidad de éxitos.
10. La distribución normal tiene importantes propiedades teóricas: Tiene una apariencia de forma de campana (y, por ende, es simétrica). Sus medidas de tendencia central (media, mediana y moda) son todas idénticas. Su “50% central” es igual a 1.33 desviaciones estándar. Esto significa que el rango intercuartil está contenido dentro de un intervalo de dos tercios de una desviación estándar por debajo de la media y de dos tercios de una desviación estándar por encima de la media. Su variable aleatoria asociada tiene un rango infinito (-∞ < X < ∞).
11. DISTRIBUCIÒN DE POISSON
12. La distribución de Poisson se emplea para describir varios procesos, entre otros la distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un conmutador, la demanda (necesidades) de servicios en una institución asistencial por parte de los pacientes, los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro y el número de accidentes en un cruce. Los ejemplos citados tienen un elemento en común, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que asume valores enteros (0,1,2,3,4,5 y así sucesivamente).
13. Ejemplo : Supóngase que estamos investigando la seguridad de un crucero muy peligroso. Los archivos de la policía indican una media de cinco accidentes por mes en él. El número de accidentes está distribuido conforme a la distribución de Poisson, y la división de seguridad en carreteras quiere calcular la probabilidad de exactamente 0,1,2,3 y 4 accidentes en un mes determinado.
15. DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR. La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ =0, y pordesviación típica la unidad, σ =1. La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura.
16. Ejemplo de una distribución normal La estatura de todos los adultos masculinos que residen en el estado de Pennsylvania siguen aproximadamente una distribución normal. Por lo tanto, la estatura de la mayoría de los hombres estará cerca de la estatura media de 69 pulgadas. Un número similar de hombres serán un poco más altos y un poco más bajos que 69 pulgadas. Solo unos pocos serán mucho más altos o mucho más bajos. La desviación estándar es de 2.5 pulgadas
17. P= 0.4 Q= 0.6 N= 5 Realicemos el cálculo de cada valor de R: Para R= 0 obtenemos que : P(0) = 5!/ 0!(5-0)! (0.4 )0 (0.6)5 P(0) = 0.07776 Para R= 1 obtenemos que : P(1) = 5!/ 1!(5-1)! (0.4 )1 (0.6)4 P(1) = 0.2592 Para R=2 obtenemos que: P(2) = 5!/ 2!(5-2)! (0.4 )2 (0.6)3 P(2) = 0.3456 Para R= 3 obtenemos que : P(3) = 5!/ 3!(5-3)! (0.4 )3 (0.6)2 P(3) = 0.2304 Para R= 4 obtenemos que : P(4) = 5!/ 4!(5-4)! (0.4 )4 (0.6)1 P(4) = 0.0768 Para R= 5 obtenemos que : P(5) = 5!/ 5!(5-5)! (0.4 )5 (0.6)0 P(5) = 0.01024
18. Cálculo de probabilidades mediante la distribución de Poisson La distribución de Poisson, según hemos señalado, se refiere a ciertos procesos que pueden ser descritos con una variable aleatoria discreta. La letra X suele representar esa variable y puede además asumir valores enteros (0,1,2,3 etc..) .
19. Utilizamos la letra X mayúscula para representar la variable aleatoria y la x minúscula para designar un valor específico que puede asumir la X mayúscula. La probabilidad de exactamente x ocurrencias en una distribución de Poisson se calcula mediante la fórmula: P(x) = l x * e-l / x! l x = Lambda (número medio de ocurrencias por intervalo de tiempo) elevada a la potencia x. e-l = e= 2.71828 elevado a la potencia de lambda negativa. x! = x factorial.
20. Para saber cual es la probabilidad en 3 o menos, sumaremos las probabilidades de 0,1,2,3 lo que será igual a : P(0) = 0.00674 P(1) = 0.03370 P(2) = 0.08425 P(3) = 0.14042 P(3 o menos) = 0.26511 Dado que la probabilidad de que haya 3 o menos accidentes es de 0.26511 entonces la probabilidad de que ocurran más de tres debe ser = 1 –0.26511 = 0.73489.
21. La distribución de Poisson como una aproximación a la distribución binomial
22. Algunas veces, si se desea evitar el tedioso trabajo de calcular las distribuciones binomiales, se puede usar a cambio la de Poisson, pero debe cumplir con ciertas condiciones como : n=>20 p=<0.05
23. En los casos en que se satisfacen tales condiciones, podemos sustituir la media de la distribución binomial en lugar de la media de la distribución de Poisson de modo que la fórmula quedaría así: P(x) = (np) X * e-np /x!
