Espacios Vectoriales

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Espacios Vectoriales por Mind Map: Espacios Vectoriales

1. Vector

1.1. Sirven para representar magnitudes vectoriales como fuerzas, velocidades o acelerar acciones

1.2. Se emplean vectores de dos componentes en el plano, de tres componentes en el espacio.

1.3. Propiedades Suma

1.3.1. Asociatiava, (u+v)+w = u+(v+w)

1.3.2. Conmutativa, v+u=u+v

1.3.3. Elemento neutro, Ō+v = v

1.3.4. Opuesto, –v+v=Ō

2. Espacio vectorial real

2.1. V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación de un escalar y que satisfacen los diez axiomas

2.2. Si “x” y “y” están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como “x + y” y el producto escalar de a y x como ax.

3. Fundamentos

3.1. Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo las propiedades de espacios vectoriales es un espacio vectorial

3.2. Los elementos son vectores.

3.3. El espacio vectorial es real o complejo, según sean los escalares.

4. Condiciones

4.1. Conjunto V no vacío dotado de:

4.1.1. una operación interna, suma de vectores, u+v

4.1.2. una operación externa, producto por un escalar, αv

4.2. Verifica

4.2.1. 1) para la operación interna, las propiedades asociativa, conmutativa, existencia de elemento neutro y existencia de elemento opuesto.

4.2.2. 2) para el producto por escalar, las propiedades distributiva respecto de la suma de vectores y respecto de la suma de escalares, seudoasociativa y existencia de elemento unidad .

5. Axiomas

5.1. 1. Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenecen a V.

5.2. 2. Para todo X, Y y Z en V, (x+y) + z = x(y+z).

5.3. 3. Existe un vector |0 que pertenece a V tal que para todo X que pertenece a V, X+0= 0+X=0

5.4. 4. Si x pertenece a V, existe un vector -x en V tal que x+(-x)=0.

5.5. 5. Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.

5.6. 6. Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.

5.7. 7. Si X y Y están en V y a es un escalar, entonces a(x+y)= ax + ay.

5.8. 8. Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces (a+b)x = ax + by.

5.9. 9. Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces a(bx) = (ab)x.

5.10. 10. Para cada vector X que pertenece a V, 1x = x.

6. Subespacios

6.1. Definición

6.1.1. Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V

6.2. Reglas

6.2.1. Si x € H y y € H, entonces x + y € H.

6.2.2. Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.

6.3. Propiedades

6.3.1. 1. El vector cero de V está en H.2

6.3.2. 2. H es cerrado bajo la suma de vectores, para cada u y v en H, la suma u + v está en H.

6.3.3. 3. H es cerrado bajo la multiplicación por escalares, para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.

6.4. Descripción

6.4.1. Implícita

6.4.1.1. Mediante ecuaciones. Los vectores que verifiquen las ecuaciones son los que pertenecen al subespacio.

6.4.2. Paramétrica

6.4.2.1. Mediante una expresión con parámetros, los cuales al tomar distintos valores producen todos los vectores del subespacio.

6.4.3. Implícita a la paramétrica

6.4.3.1. Considerar las ecuaciones implícitas como un sistema y resolverlo. La solución general del sistema que podrá depender de parámetros es la expresión paramétrica.

6.4.4. Paramétrica a la implícita

6.4.4.1. No describe mediante ecuaciones cómo es el vector genérico del subespacio, ayuda a conocer qué número de ecuaciones es necesario.

7. Operaciones Subespacios

7.1. Intersección

7.1.1. S∩T={v∈V:v∈S∧v∈T}

7.2. Suma

7.2.1. S+T={v∈V:v=v1+v2,conv1∈S,v2∈T}

7.3. Suma directa (S⊕T)

7.3.1. S+Tesdirecta⇔S∩T={0V}

8. Propiedades

8.1. 0u=0V

8.2. α0V=0V

8.3. (–α)u=–(αu)

8.3.1. para α=1 :(–1)u=–u

8.4. αu=0V⇒α=0∨u=0V

9. Combinación lineal

9.1. Un vector v ∈ V es combinación lineal de la familia S = {v 1 , . . . , v m } ⊂ V, si v = a 1 v 1 +· · ·+a m v m con a i ∈ K para todo i = 1, . . . , m .

10. Envolvente lineal

10.1. Al conjunto L(S) se le llama envolvente lineal de S o subespacio generado por S y es el menor subespacio vectorial de V que contiene al conjunto S , esto es, si S ⊂ W , con W un subespacio vectorial de V , entonces L(S) ⊂ W .

11. Sistema de generadores

11.1. Un conjunto de vectores S ⊂ V es un sistema de generadores del espacio vectorial V si L(S) = V

12. Base

12.1. Una familia de vectores B ⊂ V es una base del espacio vectorial V si es linealmente independiente y sistema de generadores de V .

13. Dimensión

13.1. Número de vectores que forman una base del espacio vectorial.

14. Combinación lineal