1. Regla de cuantificación de Wilson-Sommerfeld: en un sistema cuántico, toda coordenada q que varía periódicamente en el tiempo satisface la condición de cuantificación ∫ p dq n h n qq q = =… , ,,, 123 (5.25) donde pq es el impulso asociado a q, y la integración se efectúa sobre un período.
2. Teoría de Bohr del átomo con un electrón Consideremos un átomo formado por un núcleo de masa M y carga +Ze, y un electrón de masa me y carga –e (por ej. un átomo de hidrógeno, un átomo de helio ionizado una vez, uno de litio doblemente ionizado, etc.) que gira alrededor del núcleo en una órbita circular de radio r con la velocidad v. Por ahora, supongamos que el núcleo se puede considerar fijo (o sea, M = ∞).
3. Refinamientos del modelo de Bohr Mencionaremos brevemente varias correcciones y perfeccionamientos del modelo de Bohr. Corrección por masa nuclear finita El hecho que el núcleo tiene una masa finita se puede tener en cuenta fácilmente si en todas las ecuaciones de la Sección anterior en lugar de la masa del electrón se emplea la masa reducida del sistema electrón-núcleo, dada por µ = + m M m M e e La fórmula para los números de onda se escribe ahora k RZ m n mn M , = − , m n 2 < 1 1 2 2 2 π donde: R Z e c M = µ π 2 4 3 4 h Con la corrección por el efecto de masa finita, la teoría de Bohr concuerda con los datos espectroscópicos dentro de un 0.003%.
4. La teoría de Wilson-Sommerfeld El acierto de la teoría de Bohr acentuó el carácter misterioso de sus postulados básicos, uno de los cuales es la relación entre la cuantificación de Bohr del momento angular y la cuantificación de Planck de la energía total de un oscilador armónico simple. Este asunto se aclaró en 1916 cuando Wilson y Sommerfeld enunciaron una regla de cuantificación para cualquier sistema cuyas coordenadas varían periódicamente con el tiempo
5. El espectro atómico En contraste con el espectro continuo de la radiación térmica, la radiación electromagnética emitida por un átomo libre consiste de un conjunto discreto de longitudes de onda.
6. Los postulados de Bohr Toda teoría de la estructura atómica debe explicar estas características del espectro, así como muchas otras que no hemos comentado.
6.1. El gran mérito de Bohr reside en que reconoció la necesidad de abandonar la Física Clásica, y en consecuencia tuvo la audacia de proponer que varias leyes de la Mecánica y del Electromagnetismo no se cumplen en la escala atómica.
6.2. Postulados de Bohr: • El electrón se mueve en una órbita circular alrededor del núcleo bajo la influencia de la atracción Coulombiana de éste, obedeciendo las leyes de la mecánica clásica. • Dentro de las infinitas órbitas clásicas, el electrón se mueve sólo en aquellas en las que el momento angular orbital L tiene los valores L n nh = = h / 2π , donde n = … 123 ,,, . • Cuando el electrón se mueve en una órbita permitida, no irradia energía electromagné- tica a pesar de ser acelerado constantemente y por lo tanto su energía total E permanece constante. • Un electrón que se mueve inicialmente en una órbita de energía Ei puede cambiar discontinuamente su movimiento y pasar a moverse en otra órbita de energía Ef ; cuando esto ocurre se emite un fotón cuya frecuencia es ν = ( )/ EE h i − f .
7. El principio de correspondencia La existencia de reglas de selección no se explica por medio de la teoría que hemos desarrollado hasta ahora y por ese motivo, buscando darles una justificación teórica, Bohr introdujo en 1923 un postulado adicional:
7.1. Principio de correspondencia: • Para todo sistema físico, las predicciones de la teoría cuántica deben corresponder a las predicciones clásicas para valores grandes de los números cuánticos que especifican al sistema. • Una regla de selección vale para cualquier valor del número cuántico n correspondiente. Por lo tanto toda regla de selección que se aplica en el límite clásico (n grande) se aplica también en el dominio cuántico (n pequeño).
8. El experimento de Franck y Hertz La confirmación directa que los estados de energía del átomo están cuantificados provino de un sencillo experimento realizado en 1914 por James Franck y Gustav Hertz.
8.1. El experimento consiste en determinar la corriente I debida a los electrones recogidos por la placa como función de V. El primer experimento se realizó con vapor de Hg, y los resultados se muestran en la Fig. 5.5b. Se observa que para V pequeño, I aumenta con V, pero cuando se llega a 4.9 V la corriente cae abruptamente.
9. Constantes fundamentales y escalas de la Física Atómica Lo que hasta ahora hemos visto acerca de la física del átomo y de la interacción entre la radiación electromagnética y la materia nos muestra que en ellas intervienen cuatro constantes físicas universales:
9.1. Constantes fundamentales de la Física Atómica: • e2 , el cuadrado de la carga eléctrica fundamental ( e = 4 10 .80321 u.e.s. 10 × − ) • c = × 2 99792458 1010 . cm s/ , la velocidad de la luz • me = × − 9 1093897 10 28 . g, la masa del electrón • h = × − 1 05457 10 27 . erg s, la constante de Planck
10. Crítica de la Teoría Cuántica Antigua Hemos visto en este Capítulo que la teoría de Bohr y su extensión por Wilson y Sommerfeld, que constituyen la Teoría Cuántica Antigua, tuvieron importantes éxitos. Sin embargo debemos señalar las siguientes limitaciones y defectos:
10.1. • La teoría se aplica solamente a sistemas periódicos en el tiempo, lo que excluye muchos sistemas físicos. • Permite calcular las energías de los estados permitidos y las frecuencias de la radiación emitida o absorbida en las transiciones entre esos estados, pero no predice el tiempo característico involucrado en una transición. • Sólo se aplica a los átomos con un electrón, y aquellos que tienen muchos aspectos en común con los átomos de un electrón (como los metales alcalinos), pero falla si se la intenta aplicar al átomo de helio, que tiene dos electrones. • Por último, la teoría no es intelectualmente satisfactoria, pues se mezclan en ella de forma arbitraria aspectos clásicos con aspectos cuánticos.
