1. ¿Para que sirve?
1.1. ¿Para qué sirve? - Nos dice si una matriz tiene inversa o no. Si el determinante es 0, la matriz no tiene inversa. - Se usa para resolver sistemas de ecuaciones lineales usando el método de Cramer. - Ayuda a describir áreas y volúmenes cuando trabajamos con vectores en geometría. - Es útil en física, programación, robótica y más
2. Propiedades de los determinantes.
2.1. - Si una matriz tiene una fila o columna llena de ceros, su determinante es 0. - Si intercambias dos filas o columnas, el signo del determinante cambia. - Si una fila es múltiplo de otra, el determinante vale 0 (eso indica dependencia). - El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es el producto de los elementos de su diagonal principal. - Multiplicar una fila por un escalar, multiplica el determinante por ese mismo escalar.
3. Definición de determinante de una matriz.
3.1. El determinante es un número que se puede calcular a partir de una matriz cuadrada (es decir, con igual número de filas y columnas). Este número resume mucha información sobre la matriz, y es clave en muchos temas de álgebra lineal. se escribe como det(A) o también como |A| y solo se puede calcular en matrices cuadradas, como 2x2; 3x3; 4x4, etc
4. ¿Como calcular una matriz 2x2?
4.1. Notación
4.1.1. producto cruzado de la diagonal principal menos el de la secundaria.
4.2. Fórmula
4.2.1. a b c d ⇒ det = ad−bc
5. Para una Matriz 3x3 y superiores
5.1. Pasos
5.1.1. - Escogemos una fila o columna
5.1.1.1. Aplicar la formula de expansión por cofactores
5.1.1.1.1. Calcular los determinantes de las matrices 2x2
5.2. Expansión por Cofactores
5.2.1. Es un método más general. Se elige una fila (normalmente la primera) y se aplica esta fórmula:
5.2.1.1. det(A)=a11 . C11 - A12 . C12 + A13 . C13
5.2.1.1.1. Cada C1j es el determinante del menor (una matriz 2x2 que se forma al eliminar la fila y columna del elemento).
6. Problema Aplicado
6.1. Un laboratorio está monitoreando la concentración de tres contaminantes (A, B y C) en tres puntos distintos de un río. Para analizar cómo estos contaminantes se mezclan y se distribuyen aguas abajo, se arma un sistema lineal basado en un modelo de balance de masas con tres ecuaciones: 2x+y+3z=m1 0x−y+2z=m2 4x+0y+z=m3
6.1.1. Donde: 𝑥 𝑦 y 𝑧 son las cantidades relativas de cada contaminante m1, m2 y m3 son los resultados obtenidos en el punto de muestreo La matriz de coeficientes es: 2 1 3 A = 0 -1 2 4 0 1
6.1.1.1. Queremos saber si este sistema tiene una solución única, lo que nos diría si es posible determinar con certeza la contribución de cada contaminante al total medido. Para eso, calculamos el determinante de la matriz A:
6.1.1.1.1. Entonces: Det (A)= 2(-1)(1) + 1(2)(4) + 3(0)(0) - 3(-1)(4) - (1)(0)(1) - (2)(2)(0) = 2 + 8 + 0 + 12 + 0 + 0 = 18