1. Phép đồng dạng
1.1. Phép đồng dạng tỉ số k>0 là phép biến hình biến hai điểm M,N thành M′,N′ thỏa mãn M′N′=k.MN
1.2. Tính chất -Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay thay đổi thứ tự giữa ba điểm đó. -Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp k lần. -Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số k , biến góc thành góc bằng nó. Biến đường tròn thành đường tròn có đường kính gấp k lần.
1.3. Phép vị tự
1.3.1. Trong các phép đồng dạng thì ở đây chúng ta chỉ đề cập đến phép vị tự, một phép biến hình toán 11 thường gặp trong các bài toán nâng cao
1.3.2. Trong mặt phẳng cho điểm O và tỉ số k≠0. Khi đó phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M′ sao cho OM′−→−−=k.OM−→− được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k
1.3.3. Kí hiệu V(O;k)
1.4. Tâm vị tự
1.4.1. Nếu có phép vị tự tâm O biến đường tròn này thành đường tròn kia thì O được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn đó
1.4.2. Hai đường tròn bất kì luôn có hai tâm vị tự. Nếu phép vị tự có tỉ số dương thì O được gọi là tâm vị tự ngoài. Nếu phép vị tự có tỉ số âm thì O được gọi là tâm vị tự trong
1.4.3. Tâm vị tự trong
1.4.4. Tâm vị tự ngoài
2. Phép biến hình
2.1. Phép biến hình trong mặt phẳng theo định nghĩa là một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, ta xác định được một điểm duy nhất M′ thuộc mặt phẳng ấy. Điểm M′ được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình ấy
3. Phép dời hình
3.1. Tính chất -Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay thay đổi thứ tự giữa ba điểm đó. -Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó -Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó. -Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
3.2. Phép tịnh tiến
3.2.1. Trong mặt phẳng cho véc tơ v ≠0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M′ sao cho MM′−→−−=v được gọi là phép tịnh tiến theo véc tơ v
3.2.2. Kí hiệu : Tv
3.2.3. Biểu thức tọa độ :
3.2.4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x;y);M′(x′;y′);v=(a;b). Khi đó nếu M′=Tv (M) thì:
3.2.5. {x′=x+a {y′=y+b
3.3. Phép đối xứng trục
3.3.1. Trong mặt phẳng cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M′ sao cho d là đường thẳng trung trực của MM′ được gọi là phép đối xứng trục d
3.3.2. Kí hiệu : Dd
3.3.3. Biểu thức tọa độ:
3.3.4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x;y);M′(x′;y′). Khi đó
3.3.5. Nếu M′=DOx(M) thì {x′=x {y′=−y
3.3.6. Nếu M′=DOy(M) thì {x′=−x {y′=y
3.4. Phép quay
3.4.1. Trong mặt phẳng cho điểm O và góc lượng giác α. Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M≠O thành điểm M′ sao cho {OM=OM′(OM,OM′)=α được gọi là phép quay tâm O, góc quay α
3.4.2. Kí hiệu Q(O;α)
3.4.3. Trong trường hợp α=180∘, khi đó O chính là trung điểm MM′ và phép quay Q(O;α) được gọi là phép đối xứng tâm O. Kí hiệu DO. Nói cách khác : Phép đối xứng tâm là một trường hợp đặc biệt của phép quay
3.4.4. Biểu thức tọa độ:
3.4.5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho I(a;b);M(x;y);M′(x′;y′). Khi đó nếu M′=DI(M) thì {x′=2a−xy′=2b−y