TROKUT

1. ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA

1.1. SREDIŠTE OPISANE KRUŽNICE

1.1.1. Točka u kojoj se sijeku simetrale stranica trokuta

1.1.1.1. Simetrala stranice - pravac koji prolazi polovištem te stranice i okomit je na nju

1.1.1.1.1. Poučak o simetrali stranice: Svaka točka simetrale stranice je jednako udaljena od krajnjih točaka dužine

1.1.1.1.2. Obrat poučka o simetrali stranice: Ako je neka točka ravnine jednako udaljena od krajnjih točaka dane dužine, onda ta točka pripada simetrali te dužine

1.1.2. Oko svakog trokuta se može opisati kružnica, a sve tri simetrale stranica sijeku se u jednoj točki O koja je njezino središte

1.1.2.1. To središte se nalazi unutar trokuta ako je on šiljastokutan, u polovištu hipotenuze ako je pravokutan, a izvan trokuta ako je tupokutan

1.1.2.2. Opisana kružnica prolazi kroz sva tri vrha trokuta

1.2. SREDIŠTE UPISANE KRUŽNICE

1.2.1. Točka u kojoj se sijeku simetrale kutova trokuta

1.2.1.1. Simetrala kuta - pravac koji raspolavlja kut i prolazi vrhom kuta

1.2.1.1.1. Poučak o simetrali kuta: Svaka točka simetrale kuta jednako je udaljena od oba kraka svakog kuta

1.2.1.1.2. Obrat poučka o simetrali kuta: Ako je neka točka ravnine jednako udaljena od krakova danog kuta, onda ona pripada simetrali tog kuta

1.2.2. Nalazi se unutar trokuta u njegovom središtu ( uvijek )

1.2.2.1. Upisana kružnica dodiruje sve tri stranice trokuta

1.3. TEŽIŠTE

1.3.1. Točka u kojoj se sijeku sve tri težišnice trokuta

1.3.1.1. Težišnica - dužina koja spaja vrh trokuta sa polovištem nasuprotne stranice

1.3.2. Težište dijeli svaku težišnicu na dva dijela po pravilu 2 : 1

1.4. ORTOCENTAR

1.4.1. Točka u kojoj se sijeku pravci na kojima leže visine trokuta

1.4.2. Tri pravca koja sadrže visine trokuta sijeku se u jednoj točki - ORTOCENTRU

1.4.2.1. Ako je trokut šiljastokutan, ortocentar se nalazi unutar trokuta

1.4.2.2. Ako je trokut pravokutan, ortocentar je vrh pravog kuta

1.4.2.3. Ako je trokut tupokutan, ortocentar se nalazi izvan trokuta

2. SREDNJICA

2.1. Dužina koja spaja polovišta dvaju susjednih stranica

2.2. Poučak o srednjici trokuta:

2.2.1. 1. Dužina koja prolazi polovištem jedne stranice trokuta i paralelna je s drugom stranicom srednjica je trokuta

2.2.2. 2. Srednjica trokuta paralelna je sa stranicom trokuta i dvostruko kraća od nje

3. EULEROV PRAVAC

3.1. Pravac na kojem se nalaze tri od četiri karakteristične točke trokuta

4. TALESOV POUČAK O PROPORCIONALNOSTI DUŽINA

4.1. Svojstvo paralela: Ako paralele na jednom kraku kuta odsijecaju sukladne dužine, onda one odsijecaju sukladne dužine i na drugom kraku kuta

4.2. Talesov poučak: Paralelni pravci na krakovima kuta odsijecaju proporcionalne dužine

4.2.1. Obrat Talesovog poučka: Ako dva pravca odsijecaju na krakovima kuta proporcionalne dužine, onda su ti pravci paralelni

5. VRSTE TROKUTA

5.1. PREMA VRSTI KUTOVA

5.1.1. šiljasti

5.1.2. tupokutni

5.1.3. pravokutni

5.2. PREMA VRSTI STRANICA

5.2.1. jednakostranični

5.2.2. jednakokračni

5.2.3. raznostranični

6. ZBROJ KUTOVA

6.1. VANJSKI

6.1.1. 360°

6.2. UNUTARNJI

6.2.1. 180°

7. SUKLADNOST TROKUTA

7.1. POUČCI O SUKLADNOSTI TROKUTA

7.1.1. SSS

7.1.1.1. dva trokuta su sukladna ako i samo ako su im sukladne sve tri stranice

7.1.2. SKS

7.1.2.1. dva trokuta su sukladna ako i samo ako su im dvije stranice sukladne i kut između njih

7.1.3. KSK

7.1.3.1. dva trokuta su sukladna ako i samo ako su im dva kuta sukladna i stranica između njih

7.1.4. SSK

7.1.4.1. dva trokuta su sukladna ako i samo ako su im dvije stranice sukladne i kut nasuprot dulje

7.2. trokuti su sukladni ako i samo ako imaju sukladne odgovarajuće stranice i sukladne odgovarajuće kutove

7.3. dva kuta su sukladna ako imaju istu mjeru

7.4. dvije dužine su sukladne ako su jednake duljine

8. HOMOTETIJA

8.1. Preslikavanje koje će svaku točku lika preslikati u neku drugu, po točno utvrđenom pravilu

8.1.1. Homotetija je preslikavanje h ravnine, koje svakoj točki T pridružuje točku T´ = h(T) tako da vrijedi:

8.1.1.1. *Neka je O točka ravnine (središte homotetije) i k ≠ 0 realan broj (koeficijent homotetije)

8.1.1.2. 1. Točke O, T i T´ leže na istom pravcu

8.1.1.3. 2. a) Ako je k > 0, onda T´ leži na polupravcu OT

8.1.1.4. 2. b) Ako je k < 0, onda T´ ne leži na polupravcu OT

8.1.1.5. 3. |OT´| = |k| * |OT|

8.2. Svojstvo homotetije:

8.2.1. Pri preslikavanju homotetijom pravac se preslikava u pravac paralelan s njim

8.2.2. Slika kuta je sukladan kut

8.2.3. Slika dužine AB je dužina A´B´ paralelna s početnom, a njezina je duljina jednaka |A´B´| = |k| * |AB|

8.3. Pri preslikavanju homotetijom trokut se preslikava u njemu sličan trokut s koeficijentom sličnosti |k|

8.4. Kružnica se preslikava u kružnicu polumjera |k|R

9. SLIČNOST TROKUTA

9.1. Dva su trokuta ABC i A´B´C´ slična ako se podudaraju u svim trima kutovima. Pišemo ABC ~ A´B´C´.

9.2. Temeljno svojstvo sličnih trokuta: Ako su dva trokuta slična, onda su im odgovarajuće stranice proporcionalne: ABC ~ A´B´C´ --> a : a´ = b : b´ = c : c´

9.3. Koeficijent sličnosti: Neka su trokuti ABC i A´B´C´ slični. Omjer duljina njihovih stranica k = a´/a = b´/b = c´/c zove se koeficijent sličnosti.

9.4. Kriteriji za sličnost trokuta:

9.4.1. 1. Poučak o sličnosti trokuta S-S-S

9.4.1.1. Ako su duljine stranica dvaju trokuta proporcionalne, onda su ti trokuti slični

9.4.2. 2. Poučak o sličnosti trokuta S-K-S

9.4.2.1. Ako se dva trokuta podudaraju u jednom kutu, a stranice uz taj kut su proporcionalne, onda su ti trokuti slični

9.4.3. 3. Poučak o sličnosti trokuta K-K

9.4.3.1. Ako se dva kuta dvaju trokuta podudaraju, onda su ti trokuti slični

9.5. Svojstvo sličnih trokuta

9.5.1. Neka su trokuti ABC i A´B´C´ slični uz koeficijent sličnosti k: a´/a = b´/b = c´/c = k

9.5.2. Svi elementi trokuta A´B´C´ (težišnice, simetrale kutova, visine, polumjeri opisane i upisane kružnice) proporcionalni su odgovarajućim elementima trokuta ABC uz isti faktor proporcionalnosti k

9.5.3. Ako je k = 1, onda su trokuti sukladni

9.6. Opsezi i površine sličnih trokuta

9.6.1. Omjer opsega sličnih trokuta jednak je koeficijentu sličnosti tih trokuta: O´ : O = k = a´ : a

9.6.2. Površine sličnih trokuta odnose se kao kvadrati duljina odgovarajućih stranica: P´ : P = k^2 = a´^2 : a^2

10. EUKLIDOV POUČAK

10.1. Neka je trokut ABC pravokutan trokut i D nožište visine položene iz vrha C na hipotenuzu. Označimo p = |BD|, q = |AD|. Onda vrijedi a = √cp, b = √cq, v = √pq, c = p + q

10.2. Duljina katete pravokutnog trokuta geometrijska je sredina duljina hipotenuze i odgovarajućeg odsječka

10.3. Duljina visine pravokutnog trokuta geometrijska je sredina duljina odsječaka na hipotenuzi

10.4. Kateta a je geometrijska sredina hipotenuze i ortogonalne projekcije p katete a na hipotenuzu

10.5. Kateta b je geometrijska sredina hipotenuze i ortogonalne projekcije q katete b na hipotenuzu

10.6. Visina na hipotenuzu je geometrijska sredina ortogonalne projekcije p i q katete a i b na hipotenuzu pravokutnog trokuta