1. "i" e "j" indicano le coordinate degli elementi della matrcie.
1.1. i indica la RIGA
1.2. j indica la COLONNA
2. Se considero più equazioni ottengo un SISTEMA
2.1. OMOGENEO
2.1.1. b1=...=bm=0
2.1.2. Se ciascuna EQUAZIONE del sistema è OMOGENEA
2.1.3. Ogni sistema OMOGENEO di equazioni lineari è COMPATIBILE
2.1.4. SISTEMA OMOGENEO ASSOCIATO
2.2. NON OMOGENEO
2.2.1. bi/=0 per qualche i
2.3. COMPATIBILE
2.3.1. Se possiede ALMENO 1 SOLUZIONE
2.3.2. Le soluzioni del sistema sono tutte e sole n-uple ottenute sommando a una qualsiasi di esse una soluzione del sistema OMOGENEO ASSOCIATO
2.4. INCOMPATIBILE
2.4.1. Se NON possiede SOLUZIONI
2.4.1.1. Se una sola equazione del sistema non ha soluzioni allora tutto il sistema risulta incompatibile
2.5. Ogni sistema OMOGENEO ammette la soluzione (0,...,0), che viene detta SOLUZIONE BANALE o NULLA. Ogni sua altra soluzione viene detta SOLUZIONE NON BANALE
2.6. Al sistema possiamo associare una MATRICE
2.6.1. Detta MATRICE DEI COEFFICIENTI, che è formata dai coefficienti delle INCOGNITE
2.6.1.1. Se a questa aggiungo i termini COSTANTI ottengo la MATRICE ORLATA del SISTEMA
3. EQUAZIONE
3.1. L'equazione si dice:
3.1.1. OMOGENEA
3.1.1.1. b=0
3.1.2. NON OMOGENEA
3.1.2.1. b/=0
3.2. PRINCIPI DI EQUIVALENZA
3.2.1. Sommando a entrambi i membri di un'equazione una stessa quantità si ottiene una equazione EQUIVALENTE a quella iniziale e quindi trasportando un addendo da un membro all'altro di una equazione cambiandolo di segno si ottiene una equazione EQUIVALENTE
3.2.2. Moltiplicando entrambi i membri dell'equazione
4. Una Matrcie è una TABELLA RETTANGOLARE composta da numeri.
4.1. Le linee ORIZZONTALI si chiamano RIGHE e si indicano con la lettera "m"
4.1.1. Se m=1 si dice MATRICE RIGA, (1,n)
4.2. Le linee verticali si chiamano COLONNE e si indicano con la lettera "n"
4.2.1. Se n=1 si dice MATRICE COLONNA, (m,1)
5. L'insieme delle matrici viene indicato con Mmxn
5.1. L'insieme delle matrici a coefficienti in IR è uno SPAZIO VETTORIALE
6. La matrice ha coefficienti in IK
6.1. IK Insieme Numerico Fissato
7. L'elemento della matrice si indica con la notazione a(ij)
8. CLASSIFICAZIONI MATRICI
8.1. Se m è diverso da n la matrice si dice RETTANGOLARE
8.2. Se m=n allora la matrice si dice QUADRATA
8.2.1. Ha ORDINE n
8.2.2. Gli elementi a(11),...,a(nn) costituiscono la DIAGONALE PRINCIPALE
8.2.3. Gli elementi a(n1),...,a(1n) costituiscono la DIAGONALE SECONDARIA
8.2.4. Una Matrice QUADRATA si dice
8.2.4.1. TRIANGOLARE SUPERIORE
8.2.4.1.1. Se a(ij)=0 per ogni i>j
8.2.4.2. STRETTAMENTE TRIANGOLARE SUPERIORE
8.2.4.2.1. Se a(ij)=0 per ogni i>=j
8.2.4.3. TRIANGOLARE INFERIORE
8.2.4.3.1. Se a(ij)=0 per ogni i<j
8.2.4.4. STRETTAMENTE TRIANGOLARE INFERIORE
8.2.4.4.1. Se a(ij) per ogni i<=j
8.2.4.5. UNITRIANGOLARE
8.2.4.5.1. SUPERIORE
8.2.4.5.2. INFERIORE
8.2.5. MATRICE INVERTIBILE
8.2.5.1. Sia A una matrice quadrata d'ordine n diremo che A è INVERTIBILE se esiste H matrice tale che risulti: AH=HA=I(matrice IDENTICA)
8.2.5.1.1. In tal caso H si chiama INVERSA di A. Ed è UNIVOCAMENTE DETERMINATA.
8.2.5.1.2. Per trovare l'inversa devo:
8.2.5.2. Ha necessariamente RANGO UGUALE al suo ORDINE. (r=n)
8.3. Una Matrice si dice OPPOSTA (-A) di A, quando ha per elementi gli opposti degli elementi di A
8.4. Una Matrice si dice NULLA quando a(ij)=0 Per ogni i,j.
8.5. Una Matrice si dice IDENTICA di Ordine n se i=j => a(ij)=1 e se i/=j => a(ij)=0
8.5.1. La matrice IDENTICA può essere definita come la matrice che ha come righe i VETTORI CANONICI
8.5.1.1. Indicati con "En" dove n indica la posizione dell'uno all'interno del vettore.
8.6. Una Matrice si dice TRASPOSTA t^A di A come la matrice che ottengo scambiando tra loro le righe e le colonne di A
8.6.1. Una Matrice si dice SIMMETRICA quando A=t^A
8.6.2. Una Matrice si dice ANTISIMMETRICA quando t^A=-A
8.6.2.1. Ogni matrice antisimmetrica ha necessariamente NULLI gli elementi della DIAGONALE PRINCIPALE
8.7. Una Matrice si dice DIAGONALE se tutti gli elementi a(ij) con i/=j sono NULLI
8.8. Una Matrice si dice a GRADINI se:
8.8.1. 1)Ciascuna riga NON NULLA viene più in alto di ciascuna riga NULLA.
8.8.2. 2)I PIVOT si dispongono da SINISTRA verso DESTRA procedendo dall'ALTO verso il BASSO
8.8.3. 3)Una Matrice si dice a GRADINI RIDOTTA se ciascuno dei suoi PIVOT=1 e inoltre sopra e sotto a ciascun pivot ci sono tutti elementi=0
8.8.4. Le righe NON NULLE sono LINEARMENTE INDIPENDENTI
9. OPERAZIONI
9.1. SOMMA
9.1.1. Per poter sommare delle matrici devono avere le STESSE DIMENSIONI
9.1.1.1. A+B=C
9.1.1.1.1. c(ij)=a(ij)+b(ij)
9.1.1.2. La matrice NULLA funge da elemento NEUTRO nella somma di matrici
9.1.2. PROPRIETA'
9.1.2.1. ASSOCIATIVA
9.1.2.1.1. (A+B)+C=A+(B+C)
9.1.2.2. COMMUTATIVA
9.1.2.2.1. A+B=B+A
9.2. PRODOTTO
9.2.1. Prodotto di una MATRICE per uno SCALARE
9.2.1.1. Ar=rA=[ra(ij)]
9.2.1.1.1. Se r=1 => Ar=A
9.2.1.1.2. Se r=0 => Ar=MATRICE NULLA
9.2.1.2. PROPRIETA'
9.2.1.2.1. ASSOCIATIVA
9.2.1.2.2. DISTRIBUTIVA
9.2.2. Prodotto di MATRICI
9.2.2.1. Posso calcolare il PRODOTTO tra Matrici se e soltanto se Am,n e Bn,s. Ossia il numero di RIGHE della prima coincide con il numero di COLONNE della seconda.
9.2.2.2. Non è commutabile, ossia se posso fare AB non è detto che io possa fare BA, o viceversa.
9.2.2.3. Se una delle due matrici è una matrice NULLA => AB=BA=MATRICE NULLA
9.2.2.4. Se il PRODOTTO di due matrici dà come risultato la MATRICE NULLA, non è detto he una deLle due sia NULLA
9.2.2.5. Se una delle due matrici è una matrice IDENTICA => AI=IA=A
9.2.2.5.1. La matrice IDENTICA I funge da IDENTITA' è l'equivalente dell'uno nei numeri
9.2.2.6. PROPRIETA'
9.2.2.6.1. DISTRIBUTIVA
9.2.2.6.2. ASSOCIATIVA
10. Combinazione Lineare
10.1. Risolvendo l'operazione: rA+dB+sC
10.1.1. Abbiamo: una matrice che prende il nome di COMBINAZIONE LINEARE delle MATRICI A, B, C con COEFFICIENTI r, d, s
10.2. Combinazione Lineare BANALE
10.2.1. Sia h un intero POSITIVO e siano M(1), ..., M(h) delle matrici m,n .
10.2.1.1. Ha senso considerare la combinazione lineare: 0M(1)+...+0M(h)
10.2.1.1.1. La combinazione darà come risultato la matrice NULLA.
10.2.2. La CLB ha tutti i coefficienti uguali a 0
10.2.3. La CLB dà come risultato sempre una matrice NULLA
11. Una lista di MATRICI può essere:
11.1. LINEARMENTE DIPENDENTI
11.1.1. Diremo che sono LD se esiste una loro combinazione lineare NON banale tale per cui il suo risultato è una matrice NULLA
11.2. LINEARMENTE INDIPENDENTI
11.2.1. Diremo che sono LI se l'unica loro combinazione lineare che dà una matrice nulla è quella BANALE
11.2.2. Siano i coefficienti non tutti nulli
12. Sistema di m equazioni LINEARI nelle incognite X1, ..., Xn. "m" ed "n" INTERI POSITIVI
12.1. b/=0
12.1.1. 1)L'ultimo PIVOT è in posizione n+1. In tal caso il sistema è INCOMPATIBILE
12.1.2. 2)L'ultimo PIVOT è in posizione h<n+1
12.2. SOLUZIONI
12.2.1. Le variabili nelle posizioni h(1), ..., h(r) si chiamano VARIABILI PIVOTALI.
12.2.1.1. Le rimanenti n-r si chiamano VARIABILI LIBERE
12.2.2. ^n-r.
12.2.2.1. n=NUMERO INCOGNITE.
12.2.2.2. r=NUMERO DI PIVOT
13. OPERAZIONI ELEMENTARI
13.1. Posso sfruttare queste operazioni sia sulle righe sia sulle colonne. Per comodità ora faremo sulle righe.
13.1.1. 1)R(i)<-->R(h)
13.1.2. 2)r/=0, R(i)-->rR(i)
13.1.3. 3)r/=0, h=/i, R(i)-->R(i)+rR(h)
13.2. Applicando le OE ad una matrice COMPLETA di un sistema ottengo la MATRICE COMPLETA di un SISTEMA EQUIVALENTE a quello iniziale.
13.3. DEFINIZIONI
13.3.1. PIVOT, è il primo elemento diverso da 0 procedendo da sinistra verso destra
13.3.1.1. Si trova nella POSIZIONE PIVOTALE
14. TEOREMI
14.1. Sia M una Matrice qualunque, posso farla diventare una Matrice M' a GRADINI RIDOTTA mediante una opportuna sequenza di OE
14.2. GAUSS-JORDAN
14.2.1. Il metodo di eliminazione GJ per la risoluzione di un sistema di equazioni lineari consiste nella trasformazione delle matrice COMPLETA del sistema mediante OE sulle righe, in una matrice a GRADINI RIDOTTA. Il sistema avente quest'ultima come matrice COMPLETA è EQUIVALENTE al sistema originario e si può risolvere.
14.2.1.1. M--->OE--->M'
14.2.1.2. M=M'
14.3. ROUCHE'-CAPELLI
14.3.1. Un sistema di equazioni LINEARI è COMPATIBILE <=> la sua matrice INCOMPLETA e la sua matrice COMPLETA hanno lo STESSO RANGO.
15. RANGO
15.1. TEOREMI
15.1.1. r=c, SEMPRE
15.1.2. Il RANGO per righe/colonne di una matrice NON CAMBIA se si sottopone la matrice ad una qualunque OE
15.1.3. Il RANGO di una matrice a GRADINI RIDOTTA coincide con il numero delle righe/colonne NON NULLE