Conjuntos

1. Definición del concepto

1.1. En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.

1.2. Un conjunto es la agrupación de diferentes elementos que comparten entre sí características y propiedades semejantes.

1.3. Un conjunto es una colección de elementos. Normalmente están caracterizados por compartir alguna propiedad. Para que un conjunto esté bien definido debe ser posible discernir si un elemento arbitrario está o no en él.

2. Métodos de determinación o definición de conjuntos

2.1. Decimos que un conjunto está definido por compresión, si sus elementos se describen a través de propiedades que tienen en común. Un conjunto se puede representar por extensión y por comprensión.

2.1.1. Conjunto por extensión

2.1.2. Cuando se menciona de forma explícita a todos los elementos del conjunto. Los elementos se escriben uno a continuación del otro separado por el símbolo de coma.

2.1.3. Conjunto por comprensión

2.1.4. Cuando se menciona de forma implícita a todos los elementos del conjunto. Se utiliza símbolos para representar una propiedad o característica común de los elementos del conjunto.

3. Pertenencia

3.1. Para comenzar, debes comprender la relación entre los conjuntos y los elementos que lo conforman. Cuando un objeto es uno de los elementos de un conjunto decimos que pertenece al conjunto. ∉ para mostrar esta relación.

3.2. Relación de pertenencia La relación de pertenencia asocia a un elemento con su conjunto. Si un elemento está en un conjunto, se dice que pertenece al conjunto y en este caso usamos el símbolo ∈ ∈\in para mostrar esta relación. Si un elemento no está en un conjunto, se dice que no pertenece al conjunto y en este caso usamos el símbolo ∉ ∈ /

3.3. La relación de pertenencia sólo se da entre los elementos de un conjunto y éste. Es decir, es perfectamente correcto decir que uno o más elementos pertenecen a un conjunto. En este caso, nunca debe usarse la palabra inclusión, por tanto, no es correcto decir que un elemento está incluido en un conjunto.

4. Cardinalidad

4.1. El cardinal de un conjunto finito A es el número de elementos que tiene dicho conjunto. A ese número lo denotaremos por | A |. No es difícil llegar a que, si tenemos dos conjuntos A y B, entonces | A B | = | A | + | B | – | A B |

4.2. En matemáticas, la cardinalidad de un conjunto es la medida del "número de elementos en el conjunto". Por ejemplo, el conjunto A = {2, 4, 6} contiene 3 elementos, y por tanto A tiene cardinalidad 3. El cardinal indica el número o cantidad de les elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o infinita.

5. Notación de conjuntos

5.1. Se usan los corchetes para representar y definir conjuntos. En el interior de los corchetes se ubican los elementos que conforman el conjunto separado por comas. Esta representación escrita es equivalente a la representación gráfica de diagramas de Venn. Si por ejemplo se quiere definir el conjunto como el conformado por los elementos, y se puede representar de las siguientes formas: Un conjunto es una colección de cosas, generalmente números. Ejemplo: {5, 7, 11} es un conjunto.

5.2. Una relación R de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto R de A x B. Sea R una relación de un conjunto A en un conjunto B. Se dice que un elemento a de A está relacionado con un elemento b de B, y se denota aRb, si el par (a,b) está en R. Las relaciones de conjuntos suceden cuando existen ciertos conjuntos que tiene algo en común y que cumplen una propiedad específica en común o como también puede ser por el número de elementos que pueden tener los conjuntos que queremos comprar. La relación de conjuntos no es más que una comparación entre conjuntos según las cualidades que le asignemos, si es que existen.

5.3. Relación de igualdad entre conjuntos Decimos que dos o más conjuntos son iguales si dichos conjuntos tienen los mismos elementos. Recuerda que para determinar la igualdad de conjuntos no importa el orden de sus elementos. Tampoco importa si los elementos están repetidos.

6. Relaciones de conjuntos

6.1. Una relación R de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto R de A x B. Sea R una relación de un conjunto A en un conjunto B. Se dice que un elemento a de A está relacionado con un elemento b de B, y se denota aRb, si el par (a,b) está en R. Las relaciones de conjuntos suceden cuando existen ciertos conjuntos que tiene algo en común y que cumplen una propiedad específica en común o como también puede ser por el número de elementos que pueden tener los conjuntos que queremos comprar. La relación de conjuntos no es más que una comparación entre conjuntos según las cualidades que le asignemos, si es que existen.

6.1.1. Relación de igualdad entre conjuntos Decimos que dos o más conjuntos son iguales si dichos conjuntos tienen los mismos elementos. Recuerda que para determinar la igualdad de conjuntos no importa el orden de sus elementos. Tampoco importa si los elementos están repetidos.

7. Operaciones de conjuntos

7.1. Operaciones entre conjuntos Además de relacionar los conjuntos a través de la contenencia y la igualdad, podemos crear unos nuevos a través de las operaciones entre conjuntos. Unión de conjuntos Supongamos que tenemos los conjuntos y definidos como se muestra en la siguiente figura: Conjuntos M y N. Podemos crear otro conjunto conformado con los elementos que pertenezcan a o a. A este nuevo conjunto le llamamos unión de y, y lo notamos de la siguiente manera: En la imagen de abajo puedes observar el resultado de unir los conjuntos y. Intersección de conjuntos Sigamos tomando como ejemplo los conjuntos y definidos anteriormente. Podemos determinar un nuevo conjunto conformado por los elementos que nuestros conjuntos y tienen en común. A este nuevo conjunto le llamamos intersección de y, y lo notamos de la siguiente manera. Diferencia de conjuntos Además de la unión y la intersección podemos realizar la diferencia de conjuntos. En este caso se deben seleccionar los elementos de un conjunto que no estén en el otro. Por ejemplo, si realizas la operación menos, debes seleccionar los elementos de que no están en. Representamos la diferencia M menos N así. Diferencia simétrica de conjuntos Que el nombre esta operación no te alarme, también es muy sencilla. En esta ocasión se deben escoger los elementos de que no están en, y los elementos de que no están en. Puedes ver el resultado de la diferencia simétrica entre y en la figura de abajo. Representamos la diferencia simétrica a través del símbolo. En el caso de nuestros conjuntos y tenemos. Complemento de un conjunto La última operación que estudiaremos no es entre dos conjuntos. Decimos que el complemento de es el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal, que no pertenecen al conjunto. Es común usar los símbolos, o para representar el complemento del conjunto. Nosotros usaremos el símbolo.

8. Conjunto potencia

8.1. En matemáticas, el conjunto potencia de un conjunto dado es otro conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto dado. Por ejemplo, dado el conjunto: {\displaystyle A=\{1,2,3\}} el conjunto potencia es: {\displaystyle {\mathcal {P}}=\{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{2,3\}, \{1,3\}, \{1,2,3\}\}} Para el conjunto conjunto {a,b,c}: Y el conjunto vacío {} es un subconjunto de {a,b,c} Y estos son subconjuntos: {a}, {b} y {c} Y estos también son subconjuntos: {a,b}, {a,c} y {b,c} Y {a,b,c} es subconjunto de {a,b,c} De hecho, si haces una lista de todos los subconjuntos de S={a,b,c} tendrás el conjunto potencia de {a,b,c}: P(S) = {{}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} Piensa en que estas son las diferentes maneras de elegir los elementos (el orden no importa), incluido tomarlos todos o ninguno.

8.2. El conjunto potencia de un conjunto A, denotado P(A), es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Se escribe P(A) = {X | X ⊆ A} Nótese que todos los elementos de P(X) son conjuntos. Ejemplo P(∅) = {∅} Ejemplo Si X = {a}, P(X) = {∅, {a}} = {∅, X} Ejemplo Si X = {∅, {∅}, {a}, {b}, {∅, a}, {∅, b}, {a, b}, X} Como para cada subconjunto X, ∅ ⊆ X, entonces P(X) 6= ∅ tendrá por lo menos dos elementos que son ∅ y X

9. Representación gráfica de conjuntos

9.1. Representación gráfica de los conjuntos: diagramas de Venn Para representar los conjuntos gráficamente, se pueden usar los diagramas de Venn. Este método consiste en representar los conjuntos por medio de círculos y dibujar en su interior los elementos que lo conforman.

9.2. Diagrama de Venn El diagrama de Venn no es más que la representación gráfica de los conjuntos. Es decir, cuando los elementos que componen el conjunto se encuentran dentro de una superficie límitada por una línea. Representación gráfica de conjuntos 1. Los conjuntos se pueden representar gráficamente mediante curvas cerradas, conocidas con el nombre de diagramas de venn, y para poder interpretarlos correctamente hay que observar lo siguiente: elementos que pertenecen al conjunto se representan por puntos interiores a la curva. 2. Los elementos que no pertenecen al conjunto se representan por puntos exteriores a la curva. 3. Ningún punto se representa sobre la curva. 4. El conjunto referencial R se representan por un rectángulo para diferenciarlos de los otros diagramas. sí R = (1,2,3,4,5,6,7,8) y A= (4,5,6)

10. Jose Maria López Rodríguez 219171094