ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES

1. Ventajas de usar herramientas computacionales:

1.1. Rapidez y precisión: Los cálculos complejos pueden realizarse en segundos con alta precisión.

1.2. Automatización: Permiten automatizar procesos repetitivos.

1.3. Visualización: Visualiza los resultados de manera gráfica, lo que facilita la interpretación de datos.

1.4. Reducción de errores humanos: Al automatizar los cálculos, se minimizan los errores operaciones manuales

2. Lenguajes de programación

2.1. Python. Lenguaje de programación versátil, fácil de aprender y ampliamente utilizado enciencia de datos, análisis numérico y desarrollo de aplicaciones científicas,con un ecosistema robusto y flexible

2.2. MATLAB. Es una herramienta computacional de uso común en ingeniería y ciencias aplicadas. Su facilidad de uso, combinada con una amplia gama de funciones numéricas, lo hace ideal para realizar cálculos, análisis de datos, simulaciones y visualización gráfica

2.3. Octave. GNU Octave es una alternativa gratuita a MATLAB. Es ideal para aprovechar la funcionalidad de MATLAB . Octave es especialmente útil para análisis numérico,álgebra lineal y cálculo, MATLAB, completamente gratuito, disponible en línea

3. Definición del método de Bisección.

3.1. Dado un intervalo [𝑎, 𝑏], donde 𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏) tienen signos opuestos 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏) < 0 lo que indica que hay al menos una raíz entre a y b, el algoritmo sigue estos pasos:

3.1.1. Calcular el punto medio:

3.1.2. Evaluar la función en el punto medio: 𝑓(𝑐)

3.1.3. Elegir el nuevo intervalo: • Si 𝑓(𝑎)𝑓(𝑐) < 0, la raíz está en el subintervalo [a, c], entonces se toma b=c. • Si 𝑓(𝑐)𝑓(𝑏) < 0, la raíz está en el subintervalo [c, b], entonces se toma a=c.

3.1.4. Repetir el proceso: El proceso se repite desde el paso 1 con el nuevo intervalo hasta que el intervalo [𝑎, 𝑏] , sea lo suficientemente pequeño (es decir ∣𝑏−𝑎∣ 2 < 𝜖, donde 𝜖 es la tolerancia

4. Orden de un método de interacción : El orden de un método de iteración describe la velocidad de convergencia de la solución hacia el valor exacto

5. Introducción a las herramientas computacionales: Permiten a los usuarios usar estas herramientas computacionales para realizar cálculos complejos, visualizar datos y desarrollar simulaciones de manera eficiente y precisa

6. Características de los métodos mediante aproximación sucesiva:

6.1. Método de Bisección. Divide un intervalo en mitades hasta encontrar la raíz de una función, en cada división el intervalo de búsqueda se va reduciendo iterativamente, existe convergencia si la función es continua y la raíz está en el intervalo.

6.2. Método de Punto Fijo. Requiere de una ecuación 𝑓( 𝑥) = 0 como 𝑥 = 𝑔(𝑥 ) y luego iterar en la forma 𝑥 𝑛+ 1 = 𝑔(𝑥𝑛 ) hasta que la secuencia converge. Puede converger si la derivada de 𝑔( 𝑥 ) <1 en el intervalo donde se encuentra la raíz

6.3. Método de Newton-Raphson. Mediante el concepto de derivada para encontrar raíces deuna función. En cada iteración se aproxima la función a través de una línea tangente en el punto actual y se encuentra una nueva estimación de la raíz.

6.4. Método de Gauss-Seidel. Se usa para resolver sistemas de ecuaciones lineales, cada variable se resuelve en términos de las demás usando la última estimación disponible de las otras variables.

7. Criterio de convergencia

7.1. Converge siempre y cuando se cumpla 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏) < 0. Una de las ventajas del método de bisección, es la robustez, ya que el método converge cuando la función sea continua y cumpla con el teorema del valor intermedio, gráficamente se puede ver como un proceso iterativo que va reduciendo el intervalo que contiene la raíz

8. El Método de Newton-Raphson

8.1. El método de Newton-Raphson es un método numérico iterativo utilizado para encontrar las raícesde una función 𝑓(𝑥), es especialmente útil cuando se tiene una buena aproximación inicial cerca de la raíz. Este método utiliza la derivada de la función para hacer una aproximación sucesiva a la raíz.