Funciones de Varias Variables

1. La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables independientes, y así sucesivamente

2. Se pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica)

3. Funciones lineales

3.1. De los variables x1, x2, ... , xn es una función de la forma f(x1, x2, ... , xn) = a0 + a1x1 + ... + anxn donde a0, a1, a2, ..., an son constantes

4. Funciones de interacción

4.1. Si añadimos a una función lineal una o más terminas de la forma bxixj (b constante), obtenemos una función de interacción de la segunda orden

5. Funciones de distancia

5.1. La distancia en el plano del punto (x, y) al punto (a, b) se puede expresar como una función de los dos variables x y y: d(x, y) = [(x - a)2 + (y - b)2]1/2. (Caso especial de la forma más arriba) La distancia en el plano del punto (x, y) al origen se expresa por d(x, y) = [x2 + y2]1/2. La distancia en espacio tridimensional del punto (x, y, z) al punto (a, b, c) se expresa por d(x, y, z) = [(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2]1/2.

6. Función de valor real, f, de x, y, z. Es una regla para obtener un nuevo numero, que se escribe como f(x, y, z, ...), a partir de los valores de una secuencia de variables independientes (x, y, z, ...)

7. Espacio tridimensional y la gráfica de una función de dos variables

7.1. La coordenada x de un punto es su distancia por delante del plano yz. (Si está negativa la coordenada x, el punto se está detrás del plano yz.) La coordenada y de un punto es su distancia a la derecha del plano xz. (Si está negativa la coordenada y, el punto se está a la izquierda del plano xz.) La coordenada z de un punto es su altura sobre el plano xy. (Si está negativa la coordenada z, el punto se está debajo del plano xy.)

8. Gráfica de una función de dos variables

8.1. Es el conjunto de todos puntos (x, y, f(x, y)) en espacio tridimensional, donde restringimos los valores de (x, y) a estar en el dominio de f. En otras palabras, la gráfica es el conjunto de todos puntos (x, y, z) tal que z = f(x, y).

9. Derivadas parciales

9.1. La derivada parcial de f respecto a x es su derivada respecto a x, cuando los demás variables se consideran constantes.

9.2. En forma parecida, la derivada parcial de f respecto a y es su derivada respecto a y, cuando los demás variables se consideran constantes, y así sucesivamente para otras variables que pueda haber. Las derivadas parciales se escriben como ∂f/∂x, ∂f/∂y, y así sucesivamente. Se usa el símbolo "∂" (en lugar de "d") para recordarnos que hay mas que una variable, y que estamos considerando fijadas las demás variables.

9.2.1. Interpretación

9.2.1.1. ∂f ∂x es la razón de cambio de f a medida que cambia x, cuando y se permanece constante. ∂f ∂y es la razón de cambio de f a medida que cambia y, cuando x se permanece constant

9.2.2. Derivadas parciales de orden superior

9.2.2.1. Si f está una función de x, y, y posiblemente otras variables

10. Máximos y mínimos

10.1. Si f está una función de x y y, entonces f tiene un máximo relativo a (a, b) si f(a, b) ³ f(x, y) para toda (x, y) en una pequeña cercanía de (a, b). Un mínimo relativo se define en manera parecida. f tiene un punto de silla en (a, b) si f tiene allí un mínimo relativo a lo largo de un corte y un máximo relativo a lo largo de un otro corte

11. Integrales dobles

11.1. Definición geométrica de la integral doble La integral doble de f(x, y) en la región R del plano xy se define como R f(x, y) dx dy = Volumen arriba de la región R y abajo de la gráfica de f - Volumen abajo de la región R y arriba de la gráfica de f.