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PARABOLA by Mind Map: PARABOLA

1. Assegnati nel piano un punto f e una retta d, si chiama parabola la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti da F e da d

1.1. Asse della parabola è la retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice

1.2. Il vertice è il punto in cui la parabola interseca il suo asse.

2. 3 tipologie

2.1. Con asse coincidente all'asse y e V in O (0;0)

2.1.1. y= ax^2

2.1.2. F ( 0; 1/4a )

2.1.3. Eq. direttrice : y= -1/4a

2.1.4. V ( 0;0)

2.2. Con asse parallelo all'asse x

2.2.1. x= ay^2 + by + c

2.2.2. eq. asse y= -b/2a

2.2.3. Xv (-b^2 + 4ac/ 4a ) Yv ( -b/2a )

2.2.4. F [ (1- delta) / 4a ; -b / 2a )

2.2.5. Eq. Direttrice x= (- 1 + Delta ) / 4a

2.3. Con asse parallelo all'asse y

2.3.1. y= ax^2 + by + c

2.3.1.1. Parabola di vertice noto: y-yv = a ( x- xv) ^2

2.3.2. Xv ( -b / 2a) Yv [ ( -b^2 + 4ac) / 4a ]

2.3.3. F [ -b/ 2a ;( 1 - delta) / 4a ]

2.3.4. Direttrice : y = ( -1 + Delta) / 4a

2.3.5. eq. asse : x= -b / 2a

2.3.6. Casi partcolari :

2.3.6.1. b = o —> y= ax^2 + c. V ( 0; c )

2.3.6.2. c=0 —> y= ax^2 +bx V [ -b/2a; -b^2/ 4a ] passa per l'origine

2.3.6.3. b= 0 c=0 —> y=ax^2

3. Concavità

3.1. a > 0 concavità della parabola verso l'alto

3.2. a<0 concavità verso il basso

3.3. a > 0 All'aumentare di a l’apertura diminuisce, al diminuire di a l’apertura aumenta

3.4. a < 0 al diminuire di a l’apertura diminuisce l’apertura, all'aumentare di a aumenta l'apertura.

3.5. a = 0 la parabola non esiste

4. Parabola e retta

4.1. sistema: retta e parabola, sin ottiene un eq. di 2 grado in cui

4.1.1. se Δ > 0 la retta è secante alla parabola

4.1.2. Se Δ<0 la retta è esterna alla parabola

4.1.3. Se Δ=0 la retta è tangente alla parabola

4.2. Retta tangente

4.2.1. Dato un punto qualsiasi P se P è esterno alla parabola, si hanno due rette tangenti, se € a p ho una retta se è interno non ho rette tg.

4.2.2. Trovare la r tg in T (Xo; Yo ) € alla parabola nota

4.2.2.1. fascio di rette passanti per T : Y - Yo = m( X-Xo) con m = 2aXo + b

4.2.3. Trovare r tg condotta da un punto A (Xo;Yo) esterno a parabola nota

4.2.3.1. Sistema con : eq. fascio rette passanti per A : Y - Yo = m( X-Xo) ; eq. parabola: y= ax^2+bx+c. ; Δ= 0

4.2.4. Data la tg y=mx+q determino parabola

4.2.4.1. sistema : y=mx+q ; eq parabola y=ax^2+bx+c ; Δ= 0

4.2.5. Data la r y=mx+q tg in T ( Xo; Yo) determino parabola.

4.2.5.1. Sistema: fascio rette passanti per T: Y-Yo=m(X-Xo) ; eq. y-mx-q= k (X-Xo)^2

5. Fascio di parabole

5.1. Generatrici: r : y= ax^2+by+c r’: y’=a’x^2+b’x+c’

5.2. Equazione : y-ax^2 - bx - c + k( y’- a’x^2 - b’x - c’ )

5.3. Parabole degeneri: per x^2=0 e per y=0

5.4. Punti base determinati dall'intersezioni tra le generatrici

5.4.1. 2 punti base distinti, parabole secanti

5.4.2. 2 punti base coincidenti, parabole tangenti

5.4.3. Un punto base, parabole congruenti, con diverso asse di simmetria

5.4.4. No punti base, le parabole non hanno punti in comune

5.5. Fascio parabole con dato V(Xv;Yv) : Y-Yv=a(X-Xv)^2

5.6. Fascio parabole tg ad una retta r in P(Xo;Yo) : y-mx-q= k(X-Xo)^2

5.7. Fascio parabole passanti per due punti distinti A (Xa;Ya) B(Xb;Yb) € a r: y= mx+q —> Y-mX-q=k(X-Xa)(X-Xb)