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PROBABILIDAD by Mind Map: PROBABILIDAD

1. PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD

1.1. 1 La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1,

1.2. 2 Probabilidad del suceso imposible es cero.

1.3. 3 La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección.

1.4. 4 Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual.

1.5. 5 Si A1, A2, ..., Ak son incompatibles dos a dos

1.6. 6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ..., xn}

2. SUCESO: Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria. -Al lanzar una moneda salga cara. Al lanzar una moneda se obtenga 4.

2.1. Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).

2.2. Espacio muestral de una moneda: E = {C, X}.

2.3. Espacio muestral de un dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

2.3.1. Suceso aleatorio: es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5. Ejemplo: Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular: 1. El espacio muestral. E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)} 2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}. A = {(b,b,b); (n, n,n)} 3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}. B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)} 4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}. C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}

2.4. TEOREMA DE BAYES El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de que ocurran una serie de sucesos Ai. A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta información, porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso Ai que haya ocurrido. Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indica como modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai.

2.4.1. TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL: Si A 1, A 2 ,... , A n son: Sucesos incompatibles 2 a 2. Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 A 2 ... A n = E). Y B es otro suceso.

3. DEFINICIÓN

3.1. La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio

4. EXPERIMENTO DETERMINISTA Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen. EJEMPLO: Lanzar un vaso desde una ventana conociendo el valor de todas las variables influyentes en la velocidad. Por ejemplo: altura, gravedad, condiciones climáticas, etc.

5. EXPERIMENTO ALEATORIO

5.1. - Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar. EJEMPLO: Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.

6. TEORÍAS DE LA PROBABILIDAD

6.1. La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.

6.2. TIPOS DE SUCESOS

6.2.1. Suceso elemental: Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5.

6.2.2. Suceso compuesto: Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.

6.2.2.1. UNIÓN DE SUCESOS

6.2.2.1.1. La unión de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B. Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos. A B se lee como "A o B". Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A B. A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A B = {2, 3, 4, 6}

6.2.2.1.2. Propiedades de la unión de sucesos

6.2.3. Suceso seguro: Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral). Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7.

6.2.4. Suceso imposible: Suceso imposible, es el que no tiene ningún elemento. Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.

6.2.4.1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar. Ejemplos: Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.

6.2.4.2. EXPERIMENTOS DETERMINISTA Ejemplo:Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará.tado antes de que se realicen.

6.2.5. Sucesos compatibles: Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común. Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.

6.2.6. Sucesos incompatibles: Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.

6.2.6.1. Sucesos dependientes: Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B. Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.

6.2.6.2. Suceso contrario: El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se denota por . Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado. Espacio de sucesos, S, es el conjunto de todos los sucesos aleatorios. Si tiramos una moneda el espacio se sucesos está formado por: S= { , {C}, {X}, {C,X}}. Observamos que el primer elemento es el suceso imposible y el último el suceso seguro. Si E tiene un número finito de elementos, n, de elementos el número de sucesos de E es 2n . Una moneda E= {C, X}. Número de sucesos = 22 =4 Dos monedas E= {(C,C); (C,X); (X,C); (X,X)}. Número de sucesos = 24 =16 Un dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Número de sucesos = 26 = 64

6.2.7. DIAGRAMA DE ARBOL: Los diagramas en árbol son especialmente útiles para resolver problemas con experimentos compuestos, es decir, aquellos donde realizamos más de un experimento aleatorio. Algunos ejemplos de experimentos compuestos son: tirar dos monedas al aire, y mirar si salen dos caras, contar si hay dos mujeres de entre tres hijos, sacar dos bolas de una urna, y mirar si hay una roja y una azul.