Get Started. It's Free
or sign up with your email address
Rocket clouds
TROKUT by Mind Map: TROKUT

1. sukladnost

1.1. Dva su geometrijska lika sukladna ako ih možemo dovesti u položaj u kojem oba se potpuno podudaraju.

1.1.1. Kako bismo doveli likove u položaj u kojem se potpuno podudaraju, trebamo ih pomaknuti u ravnini dok se jedan ne poklopi s drugim, ali da pri pomicanju zadrže svoj oblik i veličinu.

1.1.1.1. sukladnost dužina

1.1.1.1.1. Dvije dužine su sukladne ako su jednake duljine.

1.1.1.2. sukladnost kutova

1.1.1.2.1. Dva su kuta sukladna ako imaju istu mjeru.

1.1.1.3. sukladnost trokuta

1.1.1.3.1. Trokuti su sukladni ako i samo ako imaju sukladne odgovarajuće stranice i sukladne odgovarajuće kutove.

1.1.1.3.2. Preslikavanje koje točkama ravnine pridružuje točke iste ravnine zovemo preslikavanje ravnine.

2. četiri karakteristične točke trokuta

2.1. simetrala dužine

2.1.1. pravac koji je okomit na dužinu i prolazi njezinim polovištem.

2.1.2. poučak u simetrali dužine

2.1.2.1. svaka točka simetrale dužine jednako je udaljena od krajnjih točaka dužine.

2.1.2.2. ako je neka točka ravnine jednako udaljena od krajnjih točaka dane dužine, onda ta točka pripada simetrali te dužine.

2.2. središte opisane kružnice

2.2.1. točka u kojoj se sijeku simetrale stranica trokuta.

2.2.2. kružnica opisana trokutu

2.2.2.1. Oko svakog trokuta može se opisati kružnica. Simetrale stranica trokuta sijeku se u njezinom središtu.

2.2.2.2. Sve tri simetrale stranica sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu opisane kružnice. To središte leži unutar trokuta ako je ovaj šiljastokutan; u polovištu hipotenuze kod pravokutnog trokuta, a izvan trokuta ako je on tupokutan.

2.3. simetrala kuta

2.3.1. pravac koji prolazi vrhom kuta i dijeli taj kut na dva sukladna dijela.

2.3.2. poučak o simetrali kuta

2.3.2.1. svaka točka simetrale kuta jednako je udaljena od njegovih krakova.

2.3.2.2. Ako je neka točka ravnine jednako udaljena od krakova danog kuta, onda ona pripada simetrali tog kuta.

2.4. središte upisane kružnice

2.4.1. točka u kojoj se sijeku simetrale unutarnjih kutova trokuta

2.4.1.1. Za dani trokut postoji točno jedna kružnica koja dira sve tri njegove stranice. Njezino središte je sjecište triju simetrala kutova trokuta.

2.4.1.1.1. simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice. To središte uvijek leži unutar trokuta.

2.5. srednjica trokuta

2.5.1. dužina koja spaja polovišta dviju stranica trokuta.

2.5.1.1. poučak o srednjici trokuta

2.5.1.1.1. 1. Dužina koja prolazi polovištem jedne stranice trokuta i paralelna je s drugom stranicom srednjica je trokuta.

2.5.1.1.2. 2. Srednjica trokuta paralelna je sa stranicom trokuta i dvostruko kraća od nje.

2.6. ortocentar

2.6.1. točka u kojoj se sijeku pravci na kojima leže visine trokuta.

2.7. težište

2.7.1. dužina koja spaja vrh trokuta s polovištem nasuprotne stranice.

2.7.1.1. Težišnice trokuta sijeku se u jednoj točki T koju nazivamo težište trokuta.

2.7.1.1.1. Težište dijeli svaku težišnicu u omjeru 2:1 tj. |AT|:|TA1| =|BT|:|TB1|=|CT|:|TC1|=2:1. |AT|:|TA1|=|BT|:|TB1|=|CT|:|TC1|=2:1.

2.7.1.1.2. Tri težišnice sijeku se u težištu trokuta, a težište trokuta uvijek leži unutar trokuta. Naziv mu dolazi iz činjenice da trokut homogene mase poduprijet u svom težištu ostaje u ravnoteži. Težište se pomoću tog svojstva može definirati i za svaki drugi lik, ali položaj težišta obično nije poznat kao za trokut

3. proporcionalnost

3.1. omjer

3.1.1. količnik a:b brojeva a i b

3.1.2. taj se naziv naročito rabi kad je riječ o omjeru nekih veličina zadanih u jedinicama mjere.

3.2. razmjer ili proporcija

3.2.1. a:b = c:d

3.2.2. jednakost dvaju omjera

3.2.3. iz jednakosti razlomaka možemo napisati a:b = c:d ⇐⇒ ad = bc

3.2.3.1. umnožak vanjskih članova razmjera jednak je umnošku unutarnjih članova.

3.3. svojstvo paralela

3.3.1. ako paralele na jednom kraku kuta odsijecaju sukladne dužine, onda one odsijecaju sukladne dužine i na drugom kraku kuta.

3.4. Talesov teorem

3.4.1. paralelni pravci na krakovima kuta odsijecaju proporcionalne dužine.

3.4.2. Ako dva pravca odsijecaju na krakovima kuta proporcionalne dužine, onda su ti pravci paralelni

3.4.2.1. Prema legendi, Tales je taj teorem koristio kako bi odredio visinu Keopsove piramide.

3.4.3. Tales je bio prvi matematičar koji je izrekao i dokazao opće geometrijske činjenice.

3.4.3.1. 1. Kutovi uz osnovicu jednakokračnog trokuta su jednaki

3.4.3.2. 2. Krug je svakim svojim promjerom podijeljen na sukladne dijelove

3.4.3.3. 3. Obodni kut nad promjerom kružnice je pravi

4. sličnost trokuta

4.1. Kažemo da su dva trokuta ABC i A′B′C′ slična ako se podudaraju u svim trima kutovima: α=α′, β=β′, γ=γ′. Pišemo △ABC∼△A′B′C′.

4.1.1. Ako su dva trokuta slična, onda su im odgovarajuće stranice proporcionalne: △ABC∼△A'B'C′⟹a:a′=b:b′=c:c′.

4.2. koeficijent sličnosti

4.2.1. Neka su trokuti A′B′C′ slični. Omjer duljina njihovih stranica k=a′a=b′b=c′c zove se koeficijent sličnosti.

4.3. poučci o sličnosti trokuta

4.3.1. 1. poučak o sličnosti trokuta: SSS

4.3.1.1. Ako su duljine stranica dvaju trokuta proporcionalne, onda su ti trokuti slični.

4.3.1.1.1. a:a′=b:b′=c:c′⟹△ABC∼△A′B′C′.

4.3.2. 2. poučak o sličnosti trokuta: SKS

4.3.2.1. Ako se dva trokuta podudaraju u jednom kutu, a stranice uz taj kut su proporcionalne, onda su ti trokuti slični.

4.3.2.1.1. a:a′=b:b′=c:c′⟹△ABC∼△A′B′C′.

4.3.3. 3. poučak o sličnosti trokuta: KK

4.3.3.1. Ako se dva kuta dvaju trokuta podudaraju, onda su ti trokuti slični.

4.3.3.1.1. a:a′=b:b′′⟹△ABT∼△A′B′C′.

4.3.4. Euklidov poučak

4.3.4.1. Duljina katete pravokutnog trokuta geometrijska je sredina duljina hipotenuze i odgovarajućeg odsječka.

4.3.4.1.1. Duljina visine pravokutnog trokuta geometrijska je sredina duljina odsječaka na hipotenuzi.

4.4. svojstvo sličnih trokuta

4.4.1. Svi elementi trokuta A′B′C′ (težišnice, simetrale kutova, visine, polumjeri opisane i upisane kružnice) proporcionalni su odgovarajućim elementima trokuta ABC uz isti faktor proporcionalnosti k Ako je k=1 , onda su trokuti sukladni.

4.5. opsezi i površine sličnih trokuta

4.5.1. Omjer opsega sličnih trokuta jednak je koeficijentu sličnosti tih trokuta: O′:O=k=a′:a.

4.5.2. Površine sličnih trokuta odnose se kao kvadrati duljina odgovarajućih stranica: P′:P=k2=a′2:a2.

5. homotetija

5.1. Homotetija je preslikavanje h ravnine, koje svakoj točki T pridružuje točku T′=h(T)

5.1.1. 1. točke O, T i T' leže na istom pravcu.

5.1.2. 2. ako je k>0, onda T′ leži na polupravcu OT

5.1.2.1. ako je k<0, onda T′ ne leži na polupravcu OT

5.1.3. 3. |OT′|=|k|⋅|OT|

5.1.4. Točku O nazivamo središte (centar) homotetije, a broj k koeficijent homotetije.

5.2. svojstvo homotetije

5.2.1. Pri preslikavanju homotetijom pravac se preslikava u pravac paralelan s njim. Slika kuta je sukladan kut. Slika dužine AB je dužina A′B′ paralelna s početnom, a njezina je duljina jednaka |A′B′|=|k|⋅|AB|

5.3. Pri preslikavanju homotetijom trokut se preslikava u njemu sličan trokut s koeficijentom sličnosti |k| Kružnica se preslikava u kružnicu polumjera |k|R .