Get Started. It's Free
or sign up with your email address
Rocket clouds
TROKUT by Mind Map: TROKUT

1. Euklidov poučak:

1.1. Duljina katete pravokutnog trokuta geometrijska je sredina duljina hipotenuze i odgovarajućeg odsječka

1.2. Duljina visine pravokutnog trokuta geometijska je sredina duljina odsječaka na hipotenuzi

1.3. Kateta a je geometrijska sredina hipotenuze i ortogonalne projekcije p katete a na hipotenuzu

1.4. Kateta b je geometrijska sredina hipotenuze i ortogonalne projekcije q katete b na hipotenuzu

1.5. Visina na hipotenuzu je geometrijska sredina ortogonalne projekcije p i q katete a i b na hipotenuzu pravokutnog trokuta

2. Sukladnost

2.1. Dva su geometrijska lika SUKLADNA ako ih možemo dovesti u položaj u kojemu se potpuno podudaraju

2.2. Dva su trokuta sukladna ako i samo ako su im sukladne odgovarajuće stranice i odgovarajući kutevi

2.2.1. Dužine su sukladne kada su jednakih duljina

2.2.2. Kutevi su sukladni ako i samo ako su jednakih mjera

2.3. Poučci o sukladnosti trokuta

2.3.1. SSS - dva trokuta su sukladna ako i samo ako su im sukladne sve tri stranice

2.3.2. SKS - dva trokuta su sukladna ako i samo ako su im dvije stranice i kut između njih sukladni

2.3.3. KSK - dva trokuta su sukladna ako su im sukladna dva kuta i stranica između njih

2.3.4. SSK - dva trokuta su sukladna ako i samo ako su im sukladne dvije stranice i kut nasuprot duljoj od njih

3. Četiri karakteristične točke trokuta

3.1. Središte upisane kružnice

3.1.1. Točka u kojoj se sijeku simetrale unutarnjih kutova trokuta

3.1.2. Za pronalazak središta upisane kružnice su nam potrebne simetrale kuteva - pravci koji prolaze vrhom kuta koji taj kut dijele na dva sukladna dijela

3.1.2.1. Poučak o simetrali kuta: Svaka točka simetrale kuta jednako je udaljena od njegovih krakova

3.1.2.2. Obrat poučka o simetrali kuta: Ako je neka točka ravnine jednako udaljena od krakova danog kuta, onda ona pripada simetrali tog kuta.

3.1.3. Sve simetrale kutova trokuta prolaze istom točkom. Ona je jednako udaljena od svih stranica te je središte kružnice koja dira stranice trokuta

3.2. Središte opisane kružnice

3.2.1. Točka u kojoj se sijeku simetrale stranica trokuta

3.2.2. Za pronalazak središta opisane kružnice su nam potrebne simetrale stranica

3.2.3. Simetrala dužine je pravac koji je okomit na dužinu i prolazi njezinim polovištem

3.2.3.1. Poučak o simetrali dužine: Svaka točka simetrale dužine jednako je udaljena od krajnjih točaka dužine

3.2.3.2. Obrat poučka o simetrali dužine: Ako je neka točka ravnine jednako udaljena od krajnjih točaka dane dužine, onda ta točka pripada simetrali te dužine

3.2.4. Oko svakog trokuta se može opisati kružnica. Simetrale stranica trokuta se sijeku u njezinom središtu O

3.3. Težište trokuta

3.3.1. Točka u kojoj se sijeku težišnice trokuta

3.3.2. Za pronalazak težišta trokuta su nam potrebne težišnice - dužine koje spajaju vrh trokuta s polovištem nasuprotne stranice

3.3.3. Težište dijeli svaku težišnicu u omjeru 2:1

3.4. Ortocentar

3.4.1. Točka u kojoj se sijeku pravci na kojima leže visine trokuta

3.5. Svojstvo srednjice

3.5.1. Srednjica je dužina koja spaja polovišta dviju stranica trokuta

3.5.2. Poučak o srednjici trokuta:

3.5.2.1. 1. Dužina koja prolazi polovištem jedne stranice trokuta i paralelna je s drugom stranicom srednjica je trokuta

3.5.2.2. 2. Srednjica trokuta paralelna je sa stranicom trokuta i dvostruko kraća od nje

3.6. Eulerov pravac

3.6.1. Pravac na kojemu se nalaze tri od četiri karakteristične točke trokuta

4. Trokut - geometrijski lik koji ima tri stranice, tri vrha i tri kuta

4.1. Formule za površine:

4.1.1. p = (a*b*c)/4R

4.1.2. p = (a²√3)/4

4.1.3. p= (ab)/2

4.1.4. p=rs s= O/2= (a+b+c)/2

4.1.5. Heronova formula: p=√s(s−a)(s−b)(s−c)

4.1.6. p= (a*va)/2 = (b*vb)/2 = (c*vc)/2

4.2. Formule za opsege:

4.2.1. za jednakostranični trokut: 3a, gdje je a duljina stranice; za jednakokračni trokut: 2a + b, gdje je a duljina kraka, a b duljina osnovice; za raznostranični trokut: a + b + c, gdje su a, b i c duljine pojedinih stranica.

4.3. Zbroj vanjskih kuteva = 360°

4.4. Zbroj unutarnjih kuteva = 180°

4.5. Trokute dijelimo prema:

4.5.1. Vrsti kutova:

4.5.1.1. 1. Šiljastokutan 2. Tupokutan 3. Pravokutan

4.5.1.1.1. (Za pravokutni trokut vrijedi Pitagorin teorem: c²= a²+b²)

4.5.2. Vrsti stranica:

4.5.3. 1. Raznostraničan 2. Jednakostraničan 3. Jednakokračan

5. Talesov poučak

5.1. Svojstvo paralela: Ako paralele na jednom kraku kuta odsijecaju sukladne dužine, onda one odsijecaju sukladne dužine i na drugom kraku kuta

5.2. Talesov poučak o proporcionalnosti dužina: Paralelni pravci na krakovima kuta odsijecaju proporcionalne dužine

5.3. Obrat Talesovog teorema o proporcionalnosti: Ako dva pravca odsijecaju na krakovima kuta proporcionalne dužine, onda su ti pravci paralelni

6. Sličnost trokuta

6.1. Ako su dva trokuta slična onda su im odgovarajuće stranice proporcionalne

6.2. Dva su trokuta slična ako i samo ako se podudaraju u sva tri kuta

6.3. Omjer duljina odgovarajućih stranica trokuta naziva se korficijent sličnosti - k

6.3.1. k = a'/a = b'/b = c'/c

6.4. Poučci o sličnosti trokuta:

6.4.1. Poučak S-S-S:

6.4.1.1. Ako su duljine stranica dvaju trokuta proporcionalne, onda su ti trokuti slični

6.4.2. Poučak S-K-S:

6.4.2.1. Ako se dva trokuta podudaraju u jednom kutu, a stranice uz taj kut su proporcionalne, onda su ti trokuti slični

6.4.3. Poučak K-K:

6.4.3.1. Ako se dva kuta dvaju trokuta podudaraju, onda su ti trokuti slični

6.5. Svojstva sličnih trokuta:

6.5.1. Ako imamo dva trokuta ABC I A'B'C' koji su slični uz koeficijent sličnosti k vrijedi:

6.5.1.1. Da su svi elementi trokuta A'B'C' (težišnice, simetrale kutova, visine, polumjeri opisane i upisan kružnice) proporcionalni sa odgovarajućim elementima trokuta ABC uz isti faktor proporcionalnosti k

6.5.1.2. Ako je k=1, onda su trokuti sukladni

6.6. Opsezi i površine:

6.6.1. Omjer opsega sličnih trokuta jednak je koeficijentu sličnosti tih trokuta: O':O = k = a':a

6.6.2. Površina sličnih trokuta odnose se kao kvadrati duljina odgovarajućih stranica: P':P = k² = a'²: a²

7. Homotetija

7.1. Homotetija je preslikavanje h ravnine, koje svakoj točki T pridružuje točku T'=h(T) tako da vrijedi:

7.1.1. a) točke O,T i T' leže na istom pravcu

7.1.2. b) 1. ako je k>0, onda T' leži na polupravcu OT

7.1.3. b) 2. ako je k<0, onda T' ne leži na polupravcu OT

7.1.4. c) |OT'| = |k| • |OT|

7.2. Svojstvo homotetije:

7.2.1. Pri preslikavanju homotetijom pravca se preslikava u pravac paralelan s njim

7.2.2. Slika kuta je sukladan kut

7.2.3. Slika dužine AB je dužina A'B' paralelna s početnom, a njezina je duljina jednaka |AB| = |k| • |AB|