TROKUT

1. TALESOV POUČAK

1.1. a : b = c : d ⇔ ad = bc

1.2. - količnik a : b brojeva nazivamo omjerom (a : b = c : d), jednakost dvaju omjera nazivamo još i proporcijom ili razmjerom

1.3. -paralelni pravci na krakovima kuta odsjecaju proporcionalne dužine

1.4. SVOJSTVO PARALELA - ako paralele na jednom kraku kuta odsijecaju sukladne dužine, onda one odsijecaju sukladne dužine i na drugom kraku kuta

2. SLIČNOST TROKUTA

2.1. -kažemo da su dva trokuta ABC i A`B`C` slična ako se podudaraju u svim trima kutovima: α = α`, β = β`, γ = γ`.

2.2. ΔABC ∼ ΔA`B`C`

2.3. -ako su dva trokuta slična, onda su im odgovarajuće stranice proporcionalne: ΔABC ∼ΔA`B`C` ⇒ a : a` = b : b` = c : c`

2.4. 1.Poučak o sličnosti trokuta (S-S-S) - ako su duljine stranica dvaju trokuta proporcionalne, onda su ti trokuti slični a : a` = b : b` = c : c ⇒ ΔABC ∼ ΔA`B`C`

2.5. 2.Poučak o sličnosti trokuta (S-K-S) - ako se dva trokuta podudaraju u jednom kutu, a stranice uz taj kut su proporcionalne, onda su ti trokuri slični

2.6. 3.Poučak o sličnosti trokuta (K-K) - ako se dva kuta dvaju trokuta podudaraju, onda su ti trokuti slični: α = α`, β = β` ⇒ ΔABT ∼ΔA`B`C`

2.7. KOEFICIJENT SLIČNOSTI a` : a = b` : b = c` : c = k

2.8. Opsezi i površine sličnih trokuta O` : O = k = a` : a, P` : P = k2 = a`2 : a2

2.8.1. -omjer opsega sličnih trokuta jednak je keoficijentu sličnosti tih trokuta -površine sličnih trokuta odnose se kao kvadrati duljina odgovarajućih stranica

2.9. EUKLIDOV POUČAK - duljina katete pravokutnog trokuta geometrijska je sredina duljina hipotenute i odgovarajučeg odsječka, duljina visine pravokutnog trokuta geometrijska je sredina duljina odsječaka na hipotenuzi

2.9.1. v = √pq a = √cp b = √cq

3. HOMOTETIJA

3.1. -preslikavanje h ravnine, koje svakoj točki T pridružuje točku T` = h(T) tako da vrijedi:

3.1.1. 1.točke O, T , T` leže na istom pravcu

3.1.2. 2. a) ako je k > 0, onda T` leži na polupravcu OT b) ako je k < 0, onda T` ne leži na polupravcu OT

3.1.3. 3. | OT`| = | k | * |OT |

3.1.4. -točku O nazivamo središte (centar) homotetije, a broj k keoficijent homotetije

4. SUKLADNOST TROKUTA

4.1. -trokuti su sukladni ako i samo ako imaju sukladne odgovarajuće stranice i sukladne odgovarajuće kutove

4.1.1. -dvije dužine su sukladne kada su jednakih duljina

4.2. ΔABC≅ΔA`B`C`

4.2.1. 1.Poučak o sukladnosti trokuta (S-S-S)

4.2.1.1. -dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u svim trima stranicama

4.2.2. 2.Poučak o sukladnosti trokuta (S-K-S)

4.2.2.1. -dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvjema stranicama i u kutu među njima

4.3. 3.Poučak o sukladnosti (K-S-K)

4.3.1. -dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u stranici i kutovima uz tu stranicu

5. 4 KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA

5.1. 1.SREDIŠTE OPISANE KRUŽNICE - točka u kojoj se sijeku simetrale stranica trokuta

5.1.1. simetrala dužine - pravac koji je okomit na dužinu i prolazi njezinim polovištem

5.2. 2.SREDIŠTE UPISANE KRUŽNICE - točka u kojoj se sijeku simetrale unutarnjih kutova trokuta

5.2.1. simetrala kuta - pravac koji prolazi vrhom kuta i dijeli taj kut na dva sukladna dijela

5.3. 3.TEŽIŠTE - točka u kojoj se sijeku težišnice trokuta

5.3.1. težišnica - dužina koja spaja vrh trokuta s polovištem nasuprotne stranice

5.4. 4.ORTOCENTAR - točka u kojoj se sijeku pravci na kojima leže visine trokuta

5.5. SREDNJICA - dužina koja spaja polovišta dviju stranica trokuta

5.6. EULEROV PRAVAC - pravac na kojem se nalaze tri od ukupno četiri karakteristične točke trokuta

5.6.1. težište, središte opisane kružnice i ortocentar