Online Mind Mapping and Brainstorming

Create your own awesome maps

Online Mind Mapping and Brainstorming

Even on the go

with our free apps for iPhone, iPad and Android

Get Started

Already have an account? Log In

อัตราส่วนตรีโกณมิติ by Mind Map: อัตราส่วนตรีโกณมิติ
0.0 stars - 0 reviews range from 0 to 5

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

ประวัติของตรีโกณมิติ

ฮิปปาร์ชัส

ฮิปปาร์คัส จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี ไปที่: ป้ายบอกทาง, ค้นหา ฮิปปาร์คัส ฮิปปาร์คัส (อังกฤษ: Hipparchus, Hipparch; กรีก: Ἵππαρχος, Hipparkhos; 190-120 ปีก่อนคริสตกาล) เป็นนักดาราศาสตร์ นักภูมิศาสตร์ และนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกในยุค Hellenistic ฮิปปาร์คัสเกิดที่ Nicaea (ปัจจุบันคือเมือง Iznik ประเทศตุรกี) และน่าจะเสียชีวิตที่บนเกาะ Rhodes เขาเป็นที่รู้จักจากผลงานด้านดาราศาสตร์ใน ช่วงระหว่างปีที่ 147 ถึง 127 ก่อนคริสตกาล ได้รับยกย่องว่าเป็นนักสังเกตการณ์ทางดาราศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ที่สุดในยุค โบราณ บ้างก็ว่าเป็นนักดาราศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในช่วงยุคนั้น เขาเป็นคนแรกที่สร้างแบบจำลองการเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์และดวงจันทร์อันสามารถระบุตัวเลขได้แม่นยำ จากแบบจำลองนี้จึงเป็นที่มาของการสังเกตและการใช้เทคนิคทางคณิตศาสตร์ช่วยในการสังเกตของชาวคัลเดีย (Chaldea) แห่งบาบิโลนตลอดเวลานับศตวรรษ ฮิปปาร์คัสได้พัฒนาวิชาตรีโกณมิติ สร้างตารางตรีโกณ และแก้ปัญหาตรีโกณมิติของทรงกลมได้หลายประการ จากทฤษฎีเกี่ยวกับดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ และตรีโกณมิติของเขา อาจจะนับได้ว่าเขาเป็นคนแรกที่ได้พัฒนากระบวนวิธีอันน่าเชื่อถือที่ใช้ในการ ทำนายสุริยคราส ผลงานอื่นๆ ที่น่าสนใจของเขายังรวมถึงการค้นพบทฤษฎีการหมุนควง การรวบรวมรายการดวงดาวฉบับ แรกในโลกตะวันตก และอาจรวมถึงการคิดค้นเครื่องมือวัดทางดาราศาสตร์เก่าแก่ Astrolabe นับเป็นเวลายาวนานกว่า 3 ศตวรรษกว่าที่ผลงานการรวบรวมทางด้านดาราศาสตร์ของเคลาดิอุส ทอเลมีอุสจะก้าวหน้าขึ้นล้ำกว่างานของฮิปปาร์คัส แต่ก็ยังมีรายละเอียดหลายประการที่อ้างอิงกับงานของฮิปปาร์คัสอยู่มาก

โตเลมี

คลอดิอุส ปโตเลมี CLAUDIUS PTOLEMAEUS (PTOLEMY) ปโตเลมีเป็นนักดาราศาสตร์และนักภูมิศาสตร์ที่มีชื่อเสียงมากในช่วงที่ ยังมีชีวิตอยู่ (ค.ศ. 90 – 168) ปโตเลมีเป็นชาวกรีกโดยกำเนิด แต่ใช้ชีวิตส่วนใหญ่ที่เมืองอเล็กซานเดรีย ประเทศอียิปต์ อัตชีวประวัติส่วนตัวของปโตเลมีมีการบันทึกไว้น้อยมากและไม่ชัดเจน ผลงานที่สร้างชื่อเสียงให้ปโตเลมีมากที่สุด ได้แก่ ชุดประมวลความรู้คณิตศาสตร์ด้านดาราศาสตร์ ที่เรียกว่า "Mathematical Syntaxis" ซึ่งมีจำนวน 13 เล่ม โดยในเวลาต่อมา ซึ่งเป็นยุคที่ดาราศาสตร์รุ่งเรืองในดินแดนตะวันออกกลาง ชาวอรับได้นำหนังสือดังกล่าวมาแปล โดยเรียกว่า "แอลมาเกสต์" (Almagest) ซึ่งมีความหมายว่า "The Greatest" โดยชุดประมวลความรู้ดังกล่าว ปโตเลมีได้รวบรวมและเรียบเรียงความรู้ต่างๆ ไว้อย่างละเอียด และมีระเบียบเป็นลำดับขั้นตอน ซึ่งสะดวกต่อการค้นคว้าและเข้าใจง่าย ถึงแม้ว่าผลงานทั้งหมดจะไม่ใช่ของปโตเลมีทั้งหมด แอลมาเกสต์ หน้าซ้ายมือ อธิบายการคำนวณช่วงเวลาเกิดสุริยุปราคา และจันทรุปราคา หน้าขวามือ อธิบายแบบจำลองการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ อาทิเช่น ดาวอังคาร ดาวพฤหัสบดี และดาวเสาร์ แอลมาเกสต์เป็นชุดหนังสือที่รวบรวมความรู้ด้านดาราศาสตร์ในยุคนั้น โดยเฉพาะผลงานของฮิพพาคัส (Hipparchus : นักดาราศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงชาวกรีก มีชีวิตอยู่ในช่วง ปี 170 – 125 ก่อนคริสตกาล) ซึ่งมีอิทธิพลต่อความคิดในการพัฒนาผลงานต่างๆ ของปโตเลมี ผลจากการรวบรวมความรู้โดยปโตเลมีทำให้บันทึกของฮิพพาคัสได้ตกทอดมาถึง ปัจจุบัน แอลมาเกสต์ ทั้ง 13 เล่ม ได้อธิบายเรื่องต่างๆ ด้านดาราศาสตร์ไว้ดังนี้ เล่มที่ เรื่อง 1 อธิบายพื้นฐานด้านดาราศาสตร์ที่เกี่ยวกับการพิสูจน์ว่าโลกกลม รวมไปถึงการอธิบายว่าเอกภพเป็นทรงกลมด้วย 2 อธิบายหลักการของปโตเลมีที่แบ่งโลกออกเป็นโซนต่างๆ รวมไปถึงการอธิบายเรื่องดวงอาทิตย์ขึ้นและดวงอาทิตย์ตก 3 อธิบายช่วงระยะเวลาของปี และทฤษฎีการเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์ 4 อธิบายช่วงระยะเวลาของเดือน และทฤษฎีการเคลื่อนที่ของดวงจันทร์ 5 อธิบายระยะทางระหว่างดวงจันทร์และดวงอาทิตย์ ระยะทางระหว่างดวงจันทร์และโลก รวมไปถึงการสร้างเครื่องมือวัดระยะระหว่างดาว 6 อธิบายการเกิดสุริยุปราคา และจันทรุปราคา 7,8 อธิบายการกำหนดตำแหน่งดวงดาวบนท้องฟ้า 9 อธิบายเรื่องดาวเคราะห์ในระบบสุริยจักรวาล อาทิเช่น ดาวพุธ ดาวศุกร์ ดาวอังคาร ดาวพฤหัส และดาวเสาร์ 10 อธิบายเรื่องดาวเคราะห์ในระบบสุริยจักรวาล โดยเน้นดาวศุกร์ และดาวอังคาร 11 อธิบายเรื่องดาวเคราะห์ในระบบสุริยจักรวาล โดยเน้นดาวพฤหัส และดาวเสาร์ 13 อธิบายเกี่ยวกับดวงดาวต่าง ๆ อย่างละเอียด จากหลักการความคิดของอาริสโตเติลที่เชื่อว่าโลกเป็นศูนย์กลางของ จักรวาล โดยมีดาวเคราะห์และดวงดาวต่างๆ โคจรรอบโลกเป็นวงกลมสมบูรณ์นั้น ได้ทำให้ปโตเลมีใช้การสังเกต ทางดาราศาสตร์และความรู้ด้านคณิตศาสตร์ในการพัฒนาระบบจักรวาล "Ptolemaic System" ที่อธิบายว่า "โลกเป็นศูนย์กลางของจักรวาล" เนื่องจากปโตเลมีได้ใช้คณิตศาสตร์ในการพิสูจน์และอธิบายระบบจักรวาลดังกล่าว ทำให้ไม่มีผู้โต้แย้งเป็นเวลาร่วม 1,400 ปี จนกระทั่ง ค.ศ. 1543 โคเพอร์นิคัส นักดาราศาสตร์ชาวโปแลนด์ ได้พิสูจน์ว่าทฤษฎีของปโตเลมีที่ระบุว่าโลกเป็นศูนย์กลางของจักรวาลนั้นผิด โดยแท้ที่จริงแล้ว ดวงอาทิตย์ต่างหากที่เป็นศูนย์กลางของสุริยจักรวาล โดยมีโลกและดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์ ระบบจักรวาลของปโตเลมี ที่มีโลกเป็นศูนย์กลางของจักรวาล โดยมีดวงจันทร์ (LVNAE) ดาวพุธ (MERCVRII) ดาวศุกร์ (VENERIS) ดวงอาทิตย์ (SOLIS) ดาวอังคาร (MARTIS) ดาวพฤหัส (IOVIS) และดาวเสาร์ (SATVRNIS) โคจรไปรอบโลก เพื่อให้สอดคล้องกับผลการสังเกตบนท้องฟ้า ปโตเลมีได้อธิบายการโคจรของดาวเคราะห์และดวงดาวต่างๆ ด้วยวงกลมวงใหญ่ (deferent) ที่หมุนรอบโลก พร้อมกับมีวงกลมวงเล็กที่เรียกว่า "epicycles" ซึ่งเป็นวงโคจรของดาวเคราะห์โดยเคลื่อนที่บนเส้นรอบวงของวงกลมวงใหญ่ การเคลื่อนที่ของวงกลมใหญ่จะเคลื่อนที่ไปตามทิศทางของจุดที่ 1 จนถึง 7 โดยวงกลมวงเล็กจะเคลื่อนที่ในลักษณะที่ควงสว่าน และสังเกตได้ว่าดาวเคราะห์จะมีการโคจรถอยหลังจากจุด 3 จนถึง 5 ซึ่งปโตเลมีใช้อธิบายการโคจรถอยหลังของดาวเคราะห์ที่สังเกตได้ นักดาราศาสตร์รุ่นหลังได้วิเคราะห์แล้วว่า สาเหตุหลักที่ปโตเลมีใช้การอธิบายที่ค่อนข้างซับซ้อน ก็เนื่องจากว่า ปโตเลมีเชื่อว่าดาวเคราะห์โคจรเป็นวงกลม ทั้งที่ความเป็นจริงแล้วดาวเคราะห์โคจรเป็นวงรี (ค้นพบโดยเคปเลอร์ ในช่วงเวลาอีก 1,450 ปีต่อมา) ทำให้การพยากรณ์สำหรับการโคจรบางส่วนจึงผิดพลาดสะสมไปเรื่อยๆ อย่างไรก็ตาม นักดาราศาสตร์ในยุคปัจจุบันก็ได้ยอมรับว่า การอธิบายของปโตเลมีถือว่าดีที่สุดแล้วในเวลานั้น การอธิบายการโคจรของดาวเคราะห์รอบโลก ตามแบบจำลองจักรวาลของปโตเลมี วงกลมวงใหญ่ และ epicycle นอกจากนี้ ปโตเลมีได้แสดงความคิดเห็นไว้ว่า การที่เราเห็นดวงดาวต่าง ๆ บนท้องฟ้าเคลื่อนที่ไปนั้น อาจเกิดจากการที่โลกหมุนรอบตัวเอง (เฮอราไคลดัส Heraclidus นักปราชญ์กรีกได้เสนอความคิดนี้มาก่อนแล้ว) แต่ว่าทฤษฎีโลกหมุนรอบตัวเองนั้นยังไม่เป็นที่ยอมรับในเวลานั้น ความเชื่อตามความคิดของอาริสโตเติล และแบบจำลองระบบจักรวาลโดยปโตเลมี ที่ระบุและพิสูจน์ว่าโลกเป็นศูนย์กลางของจักรวาล ไม่เพียงแต่ฝังรากลึกในแวดวงวิทยาศาสตร์ในยุคดัง กล่าวเท่านั้น แต่ความเชื่อดังกล่าวยังได้ฝังรากลึกในศาสนจักรคาทอลิกอย่างเหนียวแน่นอีก ด้วย ซึ่งมีผลกระทบอย่างรุนแรงต่อนักวิทยาศาสตร์รุ่นต่อมา อาทิเช่น โคเพอร์นิคัส หรือ กาลิเลโอ ที่พยายามพิสูจน์ว่าโลกไม่ได้เป็นศูนย์กลางของจักรวาล นอกจากผลงานทางด้านดาราศาสตร์แล้ว ปโตเลมียังสร้างผลงานทางด้านคณิตศาสตร์ อาทิเช่น ทฤษฎีบทปโตเลมี (Ptolemy’s Theorem) ซึ่งอธิบายรูปสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าที่บรรจุอยู่ในวงกลม นอกจากนี้ ปโตเลมียังได้พิสูจน์ค่า Sin (A+B) Cos (A+B) ซึ่งถือได้ว่าเป็นจุดเริ่มต้นของตรีโกณมิติ (Trigonometry) นอกจากเป็นนักคิดแล้ว ปโตเลมียังเป็นนักประดิษฐ์เครื่องมือต่างๆ โดยเฉพาะเครื่องมือด้านดาราศาสตร์ เพื่อใช้สำหรับการวัดมุมที่ดวงดาวหรือดวงอาทิตย์ทำมุมกับโลก จากผลงานต่างๆ ทางวิทยาศาสตร์ของปโตเลมีที่ได้สร้างคุณประโยชน์มากมาย จนถือได้ว่าปโตเลมีเป็นผู้ยิ่งใหญ่แห่งยุคในเวลานั้น โดยเฉพาะผลงานทางด้านดาราศาสตร์ที่ได้มีอิทธิพลและเป็นที่ยอมรับมาเป็นเวลา นานร่วม 1,400 ปี จนกระทั่งโคเพอร์นิคัส ได้พิสูจน์ว่าระบบจักรวาลของปโตเลมีไม่ถูกต้อง

เมเนเลาส์

ทฤษฎีบทของเมเนลอส จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี ไปที่: ป้ายบอกทาง, ค้นหา จุด D, E และ F อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ทฤษฎีบทของเมเนลอส (Menelaus' theorem) เป็นทฤษฎีบททางเรขาคณิต ที่กล่าวว่า สำหรับสามเหลี่ยม ABC และจุด D, E, F ที่อยู่บนเส้นตรง BC, CA และ AB ตามลำดับ จะได้ว่า D, E และ F อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ก็ต่อเมื่อ บทความเกี่ยวกับเรขาคณิตนี้ยังเป็นโครง คุณสามารถช่วยวิกิพีเดียได้โดยเพิ่มข้อมูล ดูเพิ่มที่ สถานีย่อย:คณิตศาสตร์

ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ความเป็นมา

ความเป็นมา เมื่อ 640-546 ปี ก่อนคริสต์ศักราช ทาเรส (thales)คำนวณหาความสูง ของพีรามิด ในประเทศอียิปต์โดยอาศัยเงา วิธีหนึ่งที่ทาเรสใช้คือ คำนวณความสูงของพีรามิดจากความยาวของเงาของพีรามิด ในขณะที่เงาของเขามีความยาวเท่ากับความสูงของเขาเอง อีกวิธีหนึ่งที่ทาเรสใช้คำนวณ ความสูงของพีรามิดคือ การเปรียบเทียบความยาวของเงาของพีรามิดกับความยาวของเงาของไม้(ไม้ที่ทราบ ความยาว ถ้าสมัยนี้ก็คือไม้เมตรนั่นเอง) โดยอาศัยรูปสามเหลี่ยมคล้าย ซึ่งก็คือ อัตราส่วนตรีโกณมิติที่เรียกว่า แทนเจนต์ (tangent) นั่นเอง

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

อัตราส่วนตรีโกณมิติ อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometric Ratio) หมายถึง อัตราส่วนของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก การเรียนในเรื่องนี้ผู้เรียนจำเป็นต้อง ใช้ความรู้เดิมเรื่องสามเหลี่ยมคล้ายเพื่อเป็นพื้นฐานในการทำความเข้าใจ การเรียนวิชาตรีโกณมิติให้ได้ดีนั้นต้องจำนิยามของตรีโกณมิติให้ได้ ระดับมัธยมต้นใช้นิยามสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งอัตราส่วนตรีโกณมิติ ก็คือ อัตราส่วนของความยาวด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งจะมีชื่อเรียกดังนี้ "Sine A" ไซน์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า sin A หาได้จากอัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุม A ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก "Cos A" โคไซน์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า cos A หาได้จากอัตราส่วนของความยาวด้านประชิดมุม A ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก "Tangent A" แทนเจนต์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า tan A หาได้จากอัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุม A ต่อความยาวด้านประชิดมุม A ส่วนฟังก์ชัน cosec, sec และ cot นั้น ก็ใช้นิยามเข้าช่วย ซึ่งเป็นส่วนกลับของ sin, cos และ tan ตามลำดับ จึงต้องจำฟังก์ชัน sin, cos, tan ก็จะได้ในส่วนของ cosec, sec และ cot ขึ้นมาเองโดยอัตโนมัติ "Cotangent A" โคแทนเจนต์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า cot A หาได้จากอัตราส่วนของความยาวด้านด้านประชิดมุม A ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุม A "Secant A" ซีแคนต์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า sec A หาได้จากอัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อ ความยาวด้านประชิดมุม A "Cosecant A" โคซีแคนต์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า cosec A หาได้จากอัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อ ความยาวด้านตรงข้ามมุม A โดยวิธีจำเช่นนี้ ภาพประกอบจาก : คณิตดอทคอม

ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (A = 45 องศา) sin A . cosec A = 1 cos A . sec A = 1 tan A . cot A = 1 tan A = sin A/ cos A cot A =sin A/ Sin A sin2 A + cos2 A = 1 sec2 A - tan2 A = 1 cosec2 A - cot2 A = 1 ขอขอบคุณข้อมูลจาก เอ็ดดูโซนดอทคอม Trigosoot.doc ศูนย์การเรียนคณิตศาสตร์ออนไลน์ ติวเตอร์แม็ทดอทคอม สคูลพอทอลดอทซียูดอทยูเค สารานุกรมไทยสำหรับเยาวชนเล่ม 6

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

เกี่ยวกับตรีโกณมิติ

ตรีโกณมิติวันนี้

วิธีการจำฟังก์ชันตรีโกณมิติแบบต่างๆ

การใช้นิ้วมือช่วยในการจำค่าตรีโกณมิติของมุมพื้นฐาน การจำค่าตรีโกณมิติพื้นฐานโดยใช้นิ้วมือ ต้องใช้มือซ้าย วิธีการนี้ใช้จำค่าตรีโกณมิติของมุมพื้นฐานกล่าวคือ มีขั้นตอนดังต่อไปนี้ แบมือซ้ายออกมา มองเลขมุมจับคู่กับนิ้วเรียงจากซ้ายไปขวา เป็นมุม องศา เมื่อต้องการหาค่าตรีโกณมิติของมุมใดให้งอนิ้วนั้น สมมติว่าหา cos ก็จะตรงกับนิ้วชี้ ก็งอนิ้วชี้เก็บไว้ ถือกฎว่า "sin-ซ้าย(ออกเสียงคล้ายกัน) cos-ขวา(ออกเสียง /k/ เหมือนกัน)" เมื่อหาค่าของฟังก์ชันใดให้สนใจจำนวนนิ้วมือฝั่งที่สอดคล้องกับฟังก์ชันนั้น เพื่อจะหาค่า นำจำนวนนิ้วมือด้านที่สนใจติดรากที่สองแล้วหารด้วยสอง (หรืออาจจำว่ามีเลขสองตัวใหญ่ๆอยู่บนฝ่ามือ เมื่ออ่านก็จะเป็น รากที่สองของจำนวนนิ้วมือด้านที่สนใจ หารฝ่ามือ) สำหรับ cos 30 ก็จะได้ว่ามีนิ้วมือเหลืออยู่ทางด้านขวาอีกสามนิ้ว (กลาง นาง ก้อย) ก็จะได้ cos30=สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นก็ใช้สมบัติของฟังก์ชันนั้นกับ sin และ cos เช่น tan=sin/cos

ตรีโกณมิติ

สามเหลี่ยมตรีโกณมิติ sin cos tan ตรีโกณมิติ คลิกเข้าไปทดลองครับ ตรีโกณ ความหมายตามพจนานุกรมแปลว่า สามเหลี่ยม ตรีโกณมิติ คือ - คณิตศาสตร์แขนงหนึ่งที่ว่าด้วยการคำนวนมุมของสามเหลี่ยม ความเป็นมา เมื่อ 640-546 ปี ก่อนคริสต์ศักราช ทาเรส (thales)คำนวณหาความสูง ของพีรามิด ในประเทศอียิปต์โดยอาศัยเงา วิธีหนึ่งที่ทาเรสใช้คือ คำนวณความสูงของพีรามิดจากความยาวของเงาของพีรามิด ในขณะที่เงาของเขามีความยาวเท่ากับความสูงของเขาเอง อีกวิธีหนึ่งที่ทาเรสใช้คำนวณ ความสูงของพีรามิดคือ การเปรียบเทียบความยาวของเงาของพีรามิดกับความยาวของเงาของไม้(ไม้ที่ทราบ ความยาว ถ้าสมัยนี้ก็คือไม้เมตรนั่นเอง) โดยอาศัยรูปสามเหลี่ยมคล้าย ซึ่งก็คือ อัตราส่วนตรีโกณมิติที่เรียกว่า แทนเจนต์ (tangent) นั่นเอง อัตราส่วนตรีโกณมิติ อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometric Ratio) หมายถึง อัตราส่วนของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก การเรียนในเรื่องนี้ผู้เรียนจำเป็นต้อง ใช้ความรู้เดิมเรื่องสามเหลี่ยมคล้ายเพื่อเป็นพื้นฐานในการทำความเข้าใจ การเรียนวิชาตรีโกณมิติให้ได้ดีนั้นต้องจำนิยามของตรีโกณมิติให้ได้ ระดับมัธยมต้นใช้นิยามสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งอัตราส่วนตรีโกณมิติ ก็คือ อัตราส่วนของความยาวด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งจะมีชื่อเรียกดังนี้ "Sine A" ไซน์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า sin A หาได้จากอัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุม A ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก "Cos A" โคไซน์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า cos A หาได้จากอัตราส่วนของความยาวด้านประชิดมุม A ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก "Tangent A" แทนเจนต์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า tan A หาได้จากอัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุม A ต่อความยาวด้านประชิดมุม A ส่วนฟังก์ชัน cosec, sec และ cot นั้น ก็ใช้นิยามเข้าช่วย ซึ่งเป็นส่วนกลับของ sin, cos และ tan ตามลำดับ จึงต้องจำฟังก์ชัน sin, cos, tan ก็จะได้ในส่วนของ cosec, sec และ cot ขึ้นมาเองโดยอัตโนมัติ "Cotangent A" โคแทนเจนต์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า cot A หาได้จากอัตราส่วนของความยาวด้านด้านประชิดมุม A ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุม A "Secant A" ซีแคนต์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า sec A หาได้จากอัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อ ความยาวด้านประชิดมุม A "Cosecant A" โคซีแคนต์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า cosec A หาได้จากอัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อ ความยาวด้านตรงข้ามมุม A

การหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ Sin Cos Tan

พิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

ตรีโกณมิติ40 เอกลักษณ์ตรีโกณ

หาค่าตรีโกณมิติของมุมแบบองศา

ตารางค่ามุมตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เอกลักษณ์

เอกลักษณ์ ดูบทความหลักที่ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

นิยามด้วยอนุกรม

นิยามด้วยอนุกรม ฟังก์ชันไซน์ (สีแดง) มีค่าใกล้เคียงกับพหุนามเทย์เลอร์ดีกรี 7 ของมัน (สีเขียว) สำหรับวงกลมที่อยู่บนจุดกำเนิด โดยการใช้เรขาคณิตและคุณสมบัติของลิมิต เราแสดงได้ว่าอนุพันธ์ของไซน์คือโคไซน์ และอนุพันธ์ของไคโซน์คือค่าลบชองไซน์ เราสามารถใช้อนุกรมเทย์เลอร์สำหรับแสดงเอกลักษณ์ต่อไปนี้สำหรับทุกจำนวนจริง x: เอกลักษณ์เหล่านี้มักใช้เป็น นิยาม ของฟังก์ชันไซน์ และโคไซน์ ซึ่งนำไปใช้เป็นจุดเริ่มต้นแบบเข้มของฟังก์ชันตรีโกณมิติ และการประยุกต์ของมัน (เช่น อนุกรมฟูรีเย) เพราะว่ามันมีพื้นฐานอยู่บนระบบจำนวนจริง ไม่ขึ้นกับการตีความทางเรขาคณิตใดๆ การหาอนุพันธ์ได้และความต่อเนื่องของฟังก์ชันก็มาจากนิยามนี้

นิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย

นิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย วงกลมหนึ่งหน่วย ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้ง 6 ฟังก์ชัน สามารถนิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งเป็นวงกลมที่ มีรัศมียาว 1 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยในการคำนวณ และหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกและลบได้ ไม่ใช่แค่ 0 ถึง π/2 เรเดียนเท่านั้น สมการของวงกลมหนึ่งหน่วยคือ: จากรูป เราจะวัดมุมในหน่วยเรเดียน โดยให้มุมเป็นบวกในทิศทวนเข็มนาฬิกา และมุมเป็นลบในทิศตามเข็มนาฬิกา ลากเส้นให้ทำมุม θ กับแกน x ด้านบวก และตัดกับวงกลมหนึ่งหน่วย จะได้ว่าพิกัด x และ y ของจุดตัดนี้จะเท่ากับ cos θ และ sin θ ตามลำดับ เหตุผลเพราะว่ารูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นนั้น จะมีความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวเท่ากับรัศมีวงกลม นั่นคือยาวเท่ากับ 1 หน่วย เราจะได้ sin θ = y/1 และ cos θ = x/1 วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยให้เราหากรณีที่สามเหลี่ยมมีความสูงเป็นอนันต์ (เช่น มุม π/2 เรเดียน) โดยการเปลี่ยนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก แต่ด้านตรงข้ามมุมฉากยังยาวเท่ากับ 1 หน่วย เท่าเดิม ฟังก์ชัน f(x) = sin(x) และ f(x) = cos(x) ที่วาดบนระนาบคาร์ทีเซียน สำหรับมุมที่มากกว่า 2π หรือต่ำกว่า −2π เราสามารถวัดมุมได้ในวงกลม ด้วยวิธีนี้ ค่าไซน์และโคไซน์จึงเป็นฟังก์ชันเป็นคาบที่มีคาบเท่ากับ 2π: เมื่อ θ เป็นมุมใดๆ และ k เป็นจำนวนเต็มใดๆ คาบที่เป็นบวกที่เล็กที่สุดของฟังก์ชันเป็นคาบ เรียกว่า คาบปฐมฐานของ ฟังก์ชัน คาบปฐมฐานของไซน์, โคไซน์, ซีแคนต์ หรือโคซีแคนต์ จะเท่ากับวงกลมหนึ่งวง นั่นคือเท่ากับ 2π เรเดียน หรือ 360 องศา คาบปฐมฐานของแทนเจนต์ หรือโคแทนเจนต์ จะเท่ากับครึ่งวงกลม นั่นคือเท่ากับ π เรเดียน หรือ 180 องศา จากข้างบนนี้ ค่าไซน์และโคไซน์ถูกนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยโดยตรง แต่สี่ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เหลือจะถูกนิยามโดย ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมด สามารถนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยได้โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมด สามารถนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยได้โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O (ตามรูปทางขวา) ซึ่งคล้ายกับการนิยามเชิงเรขาคณิตที่ใช้กันมาในสมัยก่อน ให้ AB เป็นคอร์ดของวงกลม ซึ่ง θ เป็นครึ่งหนึ่งของมุมที่รองรับคอร์ดนั้น จะได้ sin(θ) คือ ความยาว AC (ครึ่งหนึ่งของคอร์ด) นิยามนี้เริ่มใช้โดยชาวอินเดีย cos(θ) คือระยะทางตามแนวนอน OC versin(θ) = 1 − cos(θ) คือ ความยาว CD tan(θ) คือ ความยาวของส่วน AE ของเส้นสัมผัสที่ลากผ่านจุด A จึงเป็นที่มาของคำว่าแทนเจนต์นั่นเอง (tangent = สัมผัส) cot(θ) คือ ส่วนของเส้นสัมผัสที่เหลือ คือความยาว AF sec(θ) = OE และ csc(θ) = OF เป็นส่วนของเส้นซีแคนต์ (ตัดวงกลมที่จุดสองจุด) ซึ่งสามารถมองว่าเป็นภาพฉายของ OA ตามแนวเส้นสัมผัสที่จุด A ไปยังแกนนอนและแกนตั้ง ตามลำดับ exsec(θ) = DE = sec(θ) − 1 (ส่วนของซีแคนต์ด้านนอก) ด้วยวิธีสร้างเหล่านี้ ทำให้เห็นภาพฟังก์ชันซีแคนต์และแทนเจนต์ลู่ออก เมื่อ θ เข้าใกล้ π/2 (90 องศา) และโคซีแคนต์และโคแทนเจนต์ลู่ออก เมื่อ θ เข้าใกล้ศูนย์ (เราสามารถพิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติด้วยรูปภาพได้)  

นิยามจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

นิยามจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก รูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีมุมหนึ่งมีขนาด 90° (π/2 เรเดียน) ในที่นี้คือ C ส่วนมุม A กับ B นั้นเปลี่ยนแปลงได้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านและมุมภายในรูปสาม เหลี่ยมมุมฉาก ในการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุม A เราจะกำหนดให้มุมใดมุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นมุม A เรียกชื่อด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมตามนี้ ด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก หรือเป็นด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ในที่นี้คือ h ด้านตรงข้าม (opposite side) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่เราสนใจ ในที่นี้คือ a ด้านประชิด (adjacent side) คือด้านที่อยู่ติดกับมุมที่เราสนใจและมุมฉาก ในที่นี้คือ b จะได้ 1). ไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ sin(A) = ข้าม/ฉาก = a/h 2). โคไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ cos(A) = ชิด/ฉาก = b/h 3). แทนเจนต์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านประชิด ในที่นี้คือ tan(A) = ข้าม/ชิด = a/b 4). โคซีแคนต์ csc(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ sin(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านตรงข้าม csc(A) = ฉาก/ข้าม = h/a 5). ซีแคนต์ sec(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ cos(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านประชิด sec(A) = ฉาก/ชิด = h/b 6). โคแทนเจนต์ cot(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ tan(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้าม cot(A) = ชิด/ข้าม = b/a [แก้] วิธีจำ วิธีจำอย่างง่าย ๆ คือจำว่า ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด ซึ่งหมายความว่า ข้ามฉาก ... sin = ด้านตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก ชิดฉาก ... cos = ด้านประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก ข้ามชิด ... tan = ด้านตรงข้าม/ด้านประชิด

แบบทดสอบตรีโกณมิติ ม.3

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ