1. 14.1 Leyes de probabilidad
1.1. Ley de adición de probabilidad • La unión de E U F e intersección EF. Estos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno excluye la ocurrencia del otro
1.2. Ley de probabilidad condicional • P(EF) = P(E) P(F)
1.3. • La probabilidad está relacionada con los resultados aleatorios de un experimento • El espacio de muestreo es la conjunción de los resultados • Evento es el subconjunto del espacio de muestreo • Ejemplo: lanzar un dado • Si un evento E ocurre M veces en un experimento de N ensayos, entonces: P(E) = M/N • Cuando un experimento se repite infinitas veces, la probabilidad de realizar un evento es mínima
2. 14.2 Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad
2.1. TIPOS DE VARIABLES ALEATORIAS:
2.1.1. DISCRETA: La variable aleatoria X se dice que es discreta si los números asignados a los sucesos elementales de E son puntos aislados. Sus posibles valores constituyen un conjunto finito o infinito numerable. -ejemplo; El experimento consistente en lanzar tres veces una moneda no trucada; si consideramos la variable aleatoria X=”número de caras obtenidas en los tres lanzamientos”, los valores que puede tomar esta variable aleatoria son finitos (0,1,2,3).
2.1.2. CONTINUA: La variable aleatoria X será continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera, dentro de ciertos intervalos, es decir, puede tomar cualquier valor de R. Por ejemplo, si consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el nivel de agua en un embalse y tomamos la variable aleatoria X=”nivel de agua”, esta puede tomar valores entre 0 y más infinito.
2.2. Asigna valor a un N° lR, a cada resultado del espacio muestral, de un experimento aleatorio. una función X definida: X: S → IR Por tanto, es una función cuyo dominio es el espacio muestral y el rango es el conjunto de los N° lR.
2.3. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD: modelo teórico que describe la forma en que varían los resultados de un experimento aleatorio, es decir, nos da todas las probabilidades de todos los posibles resultados que podrían obtenerse cuando se realiza un experimento aleatorio. Se clasifican como discretas o continuas. En la distribución de probabilidad discreta está permitido tomar sólo un número limitado de valores. En la continua, llamada función de Variable aleatoria y función de distribución 27 densidad, la variable que se está considerando puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado.
2.4. Distribución de probabilidad discreta : Sea un espacio probabilístico y sea X una variable aleatoria discreta que toma como posibles valores x1,x2,.....xn, se define la distribución de probabilidad de X como el conjunto de pares (xi, pi) que a cada valor de la variable le asocia una probabilidad, donde pi= P(X=xi), tal que la suma de todas las probabilidades es igual a la unidad. Del ejemplo realizado anteriormente se desprende que la distribución de probabilidad viene dada por: (0,1/8); (1,3/8); (2,3/8); (3,1/8).
2.5. Distribución de probabilidad continua: Si la variable aleatoria es continua, hay infinitos valores posibles de la variable y entra cada dos de ellos se podrían definir infinitos valores. En estas condiciones no es posible deducir la probabilidad de un valor puntual de la variable como se puede hacer en el caso de las variables discretas. Pero sí es posible calcular la probabilidad acumulada hasta un cierto valor (función de distribución) y cómo cambia esa probabilidad acumulada en cada punto (densidad de probabilidad). Por tanto, cuando la variable aleatoria sea continua hablaremos de función de densidad. Sea X una variable aleatoria continua, se llama función de densidad y se representa como f(x) a una función no negativa definida sobre la recta real, tal que para cualquier intervalo que estudiemos se verifica: Α∀ ( ) ( )dxxf ∫ =Α∈ΧΡ .
3. 14.3 Expectativa de una variable aleatoria
3.1. Es una característica numérica que proporciona una idea de la localización de la variable aleatoria sobre la recta real. Decimos que es un parámetro de centralización o de localización. una variable aleatoria discreta X con recorrido {x1, x2, ..., xk, ...} y con función de densidad f(x), se define la esperanza matemática de X como el valor
3.1.1. Varianza de una variable aleatoria Se representa σ2=Var(X) desviación típica σ Si X es una variable discreta , la forma de hacer los cálculos será σ2=k∑i=1(xi−μ)2pi=(k∑i=1x2ipi)−μ2. Si X es una variable continua,σ2=∫∞−∞(x−μ)2f(x)dx,
3.1.2. VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS Sean x,y variables aleatorias discretas. Entonces su función de distribución de probabilidad conjunta es f(x,y) .Esta función satisface las siguientes propiedades .
4. 14.4 Cuatro Distribuciones de Probabilidad comunes
4.1. En las secciones 14,2 y 1.3 analizamos la distribución uniforme (discreta y continua). Esta seccion presenta cuatro fdp adicionales que a menudo se presentan en estudios de investigación de operaciones: binomial discreta y de Poisson, y exponencial continua y normal.
4.1.1. 14.4.1 DISTIBUCION BINOMIAL Para estar seguro de aplicar distribucion binomial se tiene que cumplir: 1. que se trate de un experimento que se repite n veces, ensayos, 2. ese ensayo solo puede tener 2 posibles resulatdos (blanco negro, noche y dia) 3. las probabilidades de esos resultados deben ser constantes, no deben variar En la distribución binomial se usan parámetros n y p y trabajan halando la media y varianza, para esto tambien necsitamos saber el tamaño n para asi hallar