Funciones
by ANDREA ROJO ZARATE
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2. Definiciones de relacion y funcion.
2.1. Función: Es una clase especial de relación con la característica de que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y solamente un elemento del segundo conjunto.
2.1.1. imagen1
2.2. Relación: Es un conjunto de parejas ordenadas, formadas de la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos no vacios dados.
2.2.1. Imagen 2
3. CLASIFICACION: Las funciones se pueden clasificar de muchas maneras ya sea por el tipo de grafica,por las operaciones para obtener sus valores y por la asociación que hay entre dominio y rango.
3.1. Inyectiva: Es aquella que al tomar dos valores diferentes en el dominio sus imágenes van a ser diferentes.
3.1.1. Imagen 8
3.2. Suprayectiva: Es cuando el rango es igual al codominio. Eso significa que todos los elementos del codominio están relacionados con alguno del dominio
3.2.1. Imagen 9
3.3. Biyectiva: es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva simultáneamente.
3.3.1. Imagen 10
3.4. Constantes: Una función es constante si en un intervalo en R, para cualquier valor x1 y x2 en R, donde x1 > x2 , se tiene que f(x1) = f( x2 ) , es decir, los valores de función permanecen iguales.
3.4.1. Imagen 11
3.5. Crecientes: Una función es creciente sobre un intervalo en R si, para cualquier x1 y x2 en R, donde x1 < x2, se tiene que f(x1) < f( x2 ) , es decir, los valores de función disminuyen.
3.5.1. Imagen 12
3.6. Decrecientes: Una función es decreciente sobre un intervalo en R si, para cualquier x1 y x2 en R, donde x1 < x2, se tiene que f(x1) > f( x2 ) , es decir, los valores de función disminuyen.
3.6.1. Imagen 13
3.7. Continuas:Una función es continua cuando su gráfica no presenta ningún “corte”.
3.7.1. Imagen 14
3.8. Discontinuas: Una función es discontinua si su gráfica presenta al menos un “corte”.
3.8.1. Imagen 15
3.9. Algebraicas: Son aquellas en que aparecen las operaciones de suma, resta, multiplicación, división potenciación y radicación.
3.10. Trascendentes: Son las funciones trigonométricas, las trigonométricas inversas, las logarítmicas y las exponenciales.
3.11. Especiales: Son las que tienen valor absoluto o son escalonadas.
3.12. Par: Si x y –x están en el dominio, entonces f(-x)=f(x)
3.13. Impar: Si x y –x están en el dominio, entonces f(-x)=-f(x)
4. Algebra de funciones
4.1. Suma: Sean f y g dos funciones de x con dominios Df y Dg respectivos. • La suma de funciones se define como ( f + g)(x) = f (x)+ g(x) y su dominio es Df Dg.
4.2. Resta: La resta de funciones se define como ( f − g)(x) = f (x)− g(x) y su dominio es Df Dg.
4.3. Produto: El producto de funciones se define como ( f ⋅ g)(x) = f (x)⋅ g(x) y su dominio es Df Dg.
4.4. Cociente: El cociente de funciones se define como fg(x)=f(x)g(x) y su dominio es Df Dg , siempre que g(x) ≠ 0.
4.5. Composición: La composición de funciones se define como ( f o g)(x) = f (g(x)) y su dominio es el conjunto de todos los valores de x en el dominio de g tales que g(x) esté en el dominio de f . Esto significa que: Df o g = { x ∈ Dg | g(x)∈ Df }
4.6. Inversa: Sea f una función biyectiva con dominio A y rango B . Entonces su función inversa −1 f tiene dominio B y rango A y la define: f -1(y) = x ⇔ f (x) = y para cualquier y en B. Esto significa que: Dominio de f-1 = Rango de f Rango de f-1= Dominio de f Nótese como no todas las funciones tienen inversa, sólo aquellas que sean biyectivas.
4.7. Imagen 7
5. Fuentes de consulta
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7. Elementos y notación de la función :los elementos y notación de una función son un conjunto de símbolos acordados por la comunidad matemática para representar las funciones.
7.1. Variable dependiente, se conoce comúnmente como “y”, ocupa el segundo espacio en la pareja de valores ordenados (ordenada) y depende del valor que se le ha asignado a la variable independiente.
7.1.1. Imagen 3
7.2. Variable independiente: conocida comúnmente como “x” y ocupa el espacio de la primera componente en una pareja de valores ordenados (abscisa). No depende de ninguna condición. Esta variable puede tomar como valor cualquier elemento del dominio.
7.3. Dominio: Es el primer conjunto donde están todos los elementos que puede tomar la variable independiente para realizar la función.
7.4. Imagen: Es el elemento que se obtiene en el segundo conjunto después de aplicar la regla de correspondencia a un elemento del primer conjunto. f se ocupa para indicar que se trata de una función (regla de correspondencia) para obtener la imagen a partir de la variable independiente. Por lo que si “y” es una función de “x” y = f (x)
8. Imagen 6. REPRESENTACIÓN Se pueden tener diferentes maneras de representar una función, esto ayuda a pasar de una representación a otra para adquirir datos adicionales sobre dicha función y así asemejarse de manera más fácil con la situación o planteamiento que se presenta.
8.1. Diagrama de venn: Son un par de círculos que representan una relación entre los elementos en cada uno,encontrando la existencia de una función mediante la unión de flechas entre valores ,con estos podemos ver a través de dichas flechas el rango que le corresponde al dominio.
8.1.1. Imagen 4
8.2. Verbalmente: Se entiende que una función está plasmada verbalmente cuando se presenta un texto donde se describe de manera implícita los datos de una función con palabras que se pueden sustituir por datos de una función como x o f(x) ;Esta representación es la transición entre el lenguaje literal y el lenguaje matemático que a partir de este podemos obtener otras representaciones como Gráfico cartesiano, una tabla de valores, etc.
8.3. Gráfico cartesiano: El plano cartesiano está dividido en 4 partes, se ubica la parte central de este llamado “origen de coordenadas” en el cual interfieren las abscisas y las ordenadas, en el se puede plasmar de manera gráfica una función a partir de otras formas de representación como de la fórmula algebraica o de la tabla de valores.
8.3.1. Imagen 5