DERIVADAS

1. 3. DERIVADA DE UN MULTIPLO CONSTANTE

1.1. Formula: d/dx [c f(x)]=c d/dx f(x)

1.2. Interpretación: si una constante esta multiplicando a una variable, esta permanece quieta y se deriva la variable y luego se multiplica la variable con la constante y convierte en función.

1.3. Demostración: f(x)=4x^2 entonces f´(x)=4(2x^2-1) , f´(x)= 4(2x) , f´(x)=8x

1.4. Ejemplo: f(x)=2x^3 entonces f´(x)=2(3x^2-1) , f´(x)=6x^2

2. 4.DERIVADA DE UNA SUMA O RESTA

2.1. Formula: d/dx [f(x)+g(x)]=d/dx f(x)+d/dx g(x)

2.2. Interpretación: se deriva cada suma o resta de las funciones luego se suman y restan

2.3. Demostración: f(x)= 4x^3+3x^-1+4 entonces f´(x)= 4(3x^3-1) + 3(-1x^-1-1) +0 , f'(x)=4(3x^2)+3(-1x^-2) , f'(x)=12x^2-3x^-2.

2.4. Ejemplo: f(x)= 2x^3-4x^4+1 entonces f'(x)=2(3x^3-1)-4(4x^4-1)+0 , f'(x)=2(3x^2)-4(4x^3), f'(x)=6x^2-16x^3

3. 5. DERIVADA DE UN PRODUCTO

3.1. Formula: d/dx[f(x)g(x)]=f'(x)*g(x)+g'(x)*f(x)

3.2. Interpretación: si tenemos 2 funciones y las derivamos entonces, derivamos el 1er termino por 2do termino sin derivar mas la derivada del 2do termino por el 1er termino sin derivar.

3.3. Demostración: f(x)=(x^2+2x+1)(5x^2+6), 1er. (x^2+2x+1) derivar= f'(x)=(2x+2) 2do.(5x^2+6) derivar=f'(x)=(10x) f'(x)=(2x+2)*(5x^2+6)+(10x)(x^2+2x+1) f'(x)=10x^3+12x+10x^2+12+10x^3+20x^2+10x f'(x)=10x^3+22x+30x^2+12

3.4. Ejemplo: x^2(2x^2-5) 1er f(x)=x^2 derivar f(x)=2x 2do. f(x)=(2x^2-5) derivada f(x)=4x f'(x)= 2x(2x^2-5)+4x(x^2) , f'(x)= 4x^3-10x+4x^3 , f'(x)= 8x^3-10x

4. 7. DERIVADAS ESPECIALES

4.1. Se derivan específicamente

4.1.1. Función exponencial

4.1.1.1. Formula: derivada de la función exponencial natural: d/dx (e^x)=e^x

4.1.1.1.1. Interpretación: En la función exponencial natural la derivada de Euler elevada a la x potencias se multiplica por 1 y dará el mismo Euler elevado a la x

4.1.1.1.2. Demostración: f(x)=e^x+5 , f'(x)= (e^x)

4.1.1.1.3. Ejemplo: g(x)=xe^x , g'(x)=(1)(e^x)+(e^x)(x) , g'(x)=e^x (1+x)

4.1.1.2. Formula: derivada de función general: d/dx(a^x)=a^x In a

4.1.1.2.1. Interpretación: la función de forma general se multiplica por el logaritmo natural por 1

4.1.1.2.2. Demostración: f(x)=e^x/2 , f'(x)= (e^2/2).In e , f'(x)=e^x/2

4.1.1.2.3. Ejemplo: f(x)=e^2x u: 2x= 2, b: e^u f'(x)= (e^u)(2), f'(x)=2e^2x

4.1.2. Función logarítmica

4.1.2.1. Formula: derivada de la función logaritmo: d/dx (log x)=1/x In a

4.1.2.1.1. Demostración: g(x)=2logx , g'(x)= 2(1/xlog10)

4.1.2.1.2. Interpretación: la función logaritmo de una función es derivarlo por el logaritmo natural que da uno sobre la función por el logaritmo natural 1

4.1.2.1.3. Ejemplo: g(x)=log10x , g'(x)= (1/xlog10) , g'(x)=1/2.3x

4.1.2.2. Formula: derivada de la función logarítmica: d/dx (In x)=1/x

4.1.2.2.1. Interpretación: la función logaritmo de una función es derivarlo por el logaritmo natural que da 1 sobre la función en este caso x.

4.1.2.2.2. Demostración: g(x)=3In x , g'(x)= 3(1/x) , g'(x)=3/x

4.1.2.2.3. Ejemplo: g(x)=4lnx , g'(x)= 4(1/x) , g'(x)=4/x

5. 9. DERIVACION IMPLÍCITA

5.1. Interpretación: para hacer la derivación implícita se requiere 4 pasos: 1. derivar ambos lado de la ecuación. si y es una función se diferencia de x 2. resuelva la derivada, reduciendo los términos a dy/dx. 3. dy/dx dejar a un lado de la ecuación 4. despeje la ecuación.

5.2. Demostración: f(x)=y^2 - y^2=x -d(y^2)/dx=d(x)/dx - 2y dy/dx=1dx/dx - dy/dx= 1/2y

5.3. Ejemplo: x^2+y^2=25 - d(x^2+y^2)/dx=d(25)/dx - d(x^2)/dx + d(y^2)/dx =(d(25)/dx) se cancela -2x dx/dx + 2y dy/dx=0 - 2x+2y dy/dx =0 -2y dy/dx =-2x - dy/dx= -2x/2y - dy/dx= -x/y

6. 1. DERIVACION DE UNA CONSTANTE

6.1. Formula: d/dx (c)=0

6.2. Interpretación: la derivada de una constante (numero) siempre es cero "0"

6.3. Demostración: si f(x)=8 entonces f´(x)=0

6.4. Ejemplo: f(x)= 45^56 entonces f´(x)=0

7. 2.DERIVADA DE UN POLINOMIO

7.1. Formula: d/dx (x^n) =nx^n-1

7.2. Interpretación: la derivada de una potencia es justamente donde nosotros derivamos restándole -1 al exponente.

7.3. Demostración: f(x)=x^4 entonces f´(x)=4x^4-1, f´(x)=4x^3

7.4. Ejemplo: f(x)=x^5 entonces f´(x)=5x^5-1, f´(x)=5x^4

8. 6. DERIVADA DE UN COCIENTE.

8.1. Formula: d/dx[ f(x)/g(x)]= [g'(x)d/dx[f(x)]-f'(x)d/dx[g(x)]]/[g(x)]^2

8.2. Interpretación: si tenemos 2 funciones derivables que de se dividen entre si, y si la función en el denominador es diferente de "0" entonces derivamos la función así : la derivada del 1er termino por el 2do menos la derivada del 2do termino por el primero y todo eso se divide en el 2do termino elevado al cuadrado.

8.3. Demostración: f(x)= (4x^2+3)/(2x-1) 1er. f(x)= (4x^2+3) derivada f'(x)= (8x) 2do.f(x)=(2x-1) derivada f'(x)= (2) , f'(x)= [(8x)(2x-1)-(2)(4x^2+3)]/(2x-1)^2 f'(x)=[16x^2-8x-(8x^2+6)]/(2x-1)^2, f'(x)= [8x^2-8x-6]/(2x-1)^2

8.4. Ejemplo: f(x)=(1000/q+5)q f'(x)=(1000/q+5)(q/1) , f'(x)=1000q/q+5, f'(x)=[(1000)(q+5)-(1)(1000q)]/(q+5)^2 , f'(x)=[1000q+5000-1000q]/(q+5)^2 , f'(x)=5000/(q+5)^2

9. 8. DERIVADAS : REGLA DE CADENA

9.1. formula: f(x)=f(g(g)) entonces f'(x)=f'(g(x)*g'(x))

9.2. Interpretación: hay funciones que contienen o están en otras funciones la entonces la derivamos y las nombramos función interna y función externa y se multiplican.

9.3. Demostración: f(x)=(x^2+2x-1)^3 , 1er. derivamos externa f'(x)= (u)^3,f'(x)=3(u)^2. 2do derivamos la interna f'(x)=x^2+2x-1, f'(x)= 2x+2. luego remplazamos f'(x)=(3(x^2+2x-1)^2)*(2x+2)

9.4. Ejemplo: f(x)=(x^3+x^2)^5 , f'(x)= (u)^5,f'(x)=5(u)^4. f'(x)=x^3+x^2, f'(x)= 3x^2+2x. luego remplazamos f'(x)=(5(x^3+x^2)^4)*(3x^2+2x)