Многогранники

1. Геометрическое тело

1.1. Точка М называется граничной точкой данной фигуры F , если среди сколь угодно близких к ней точек (включая её саму) есть точки , как принадлежащие фигуре , так и не принадлежащие ей. Множество всех граничных точек фигуры называется её ГРАНИЦЕЙ .

1.2. Ток , например, границей шара является сфера.Точка фигуры , не являющаяся граничной, называется ВНУТРЕННЕЙ точкой фигуры. Каждая внутренняя точка фигуры характеризуется тем, что все достаточно ближе к ней точки пространства также принадлежит фигуре . Так, любая точка шара , не лежащая на сфере-его границе,является внутренней точкой шара.

1.3. Фигура называется ограниченной , если её можно заключить в какую-нибудь сферу.Очевидно шар,тетраэдр,параллелепипед-ограниченные фигуры , а прямая и плоскость-неограниченные.

1.4. Геометрическим телом (или просто телом) называют ограниченную связную фигуру в пространстве , которая содержит все свои граничные точки, причем сколь угодно близко от любой граничной точки находятся внутренние точки фигуры . Границу тела называют также его поверхностью и говорят , что поверхность ограничивает тело .

1.5. Фигура называется связанной ,если любые две её точки можно соединить непрерывной линией, целиком принадлежащей данной фигуре. Фигура, состоящая из двух параллельных плоскостей , не является связанной

2. Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником .

2.1. Понятие многогранника

2.2. Октаэдр-он составлен из восьми треугольников . Тело, ограниченное многогранником , часто также называют многогранником

2.3. Ясно,что не все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками. Отметим также , что в выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360 градусов

2.4. Многоугольник, из которых составлен многогранник, называются его гранями

2.5. Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Тетраэдр, параллелепипед и октаэдр-выпуклые многогранники.

2.6. Тетраэдр и параллелепипед- примеры многогранников

3. Призма

3.1. Рассмотрим два равных многоугольника A1A2...An и B1B2...Bn,расположенных в параллельных плоскостях a и B так, что отрезки А1А2, А2В2,...,АnBn, соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны . Каждый из n четырехугольников A1A2B2B1,A2A3B3B2,.., AnA1B1Bn является параллелограммом ,так как имеет попарно параллельные противоположные стороны.

3.2. Многогранник , составленный из двух равных многоугольников А1А2...Аn и B1B2... Bn, расположенных в параллельных плоскостях , и n параллелограмм , называется призмой

3.3. Например, в четырехугольнике A1A2B2B1 стороны А1В1 и В1В2-по свойству параллельных плоскостей , пересеченных третьей плоскостью

3.4. Многоугольник А1А2... Аn и В1В2...Вn, называются основаниями , а параллелограммы - боковыми гранями призмы.Отрезки А1В1,А2В2,...АnВn называются боковыми ребрами призмы. Эти ребра как противоположные стороны параллелограммов , последовательно приложенных друг к другу , равны и параллельны.

3.5. Призму с основанием А1А2...АnB1B2...Bn и называют n-угольной призмой.

3.6. Перпендикуляр , проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы. Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям , то призма называется прямой , в противном случае-наклонной . Высота прямой призмы равна её боковому ребру.

3.7. Прямая призма называется правильной, если её основания-правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани-равные прямоугольники

3.8. Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней , а площадью боковой поверхностью призмы - сумма площадей её боковых граней. Площадь Sполн полной поверхности выражается через площадь Sбок боковой поверхности и площадь Sосн основания призмы формулой

3.8.1. Sполн=Sбок+2Sосн*

3.9. Теорема

3.9.1. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы