Get Started. It's Free
or sign up with your email address
Rocket clouds
" Discrete " by Mind Map: " Discrete "

1. เซต

1.1. เซตว่าง

1.1.1. เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิกอยู่เลย เช่น { } = 0

1.2. เซตอนันต์

1.2.1. เซตใดๆ จะเป็นเซตอนันต์ ก็ต่อเมื่อ จำนวนสมาชิกของเซตนั้นมากจนหาค่าไม่ได้ เช่น A={1,2,3,…} จะได้ A เป็นเซตอนันต์

1.3. เซตจำกัด

1.3.1. เซตใดๆเป็นเซตจำกัดก็ต่อเมื่อ เรารู้จำนวนสมาชิกของเซตนั้นแน่นอน เช่น A={1,2,3,…,100} จะได้ n(A)=100 A เป็นเซตจำกัด

1.4. สับเซต

1.4.1. ถ้าสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B แล้ว จะเรียกว่า A เป็นสับเซตของ B จะเขียนว่า เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊂ B

1.5. เพาเวอร์เซต

1.5.1. คำว่า เพาเวอร์เซต เป็นคำศัพท์เฉพาะ ซึ่งใช้เป็นชื่อเรียกเซตเซตหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับเรื่องสับเซต เพาเวอร์เซตของ A เขียนแทนด้วย P(A) P(A) คือเซตที่มีสับเซตทั้งหมดของ A เป็นสมาชิก

2. ตรรกศาสตร์

2.1. ประพจน์ (Proposition)

2.1.1. ประพจน์ คือ ประโยคที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จเพียงอย่างเดียวเท่านั้น ประโยคเหล่านี้อาจจะอยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธก็ได้

2.2. สัจนิรันดร์ (Tautology)

2.2.1. สัจนิรันดร์ (Tautology) คือ รูปแบบประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอโดยไม่ขึ้นอยู่กับค่าความจริงของตัวแปรของแต่ละประพจน์ที่มีรูปแบบเป็นสัจนิรันดร์ เรียกว่า ประพจน์สัจนิรันดร์ (Tautology statement)

2.3. ความขัดแย้ง (Contradiction)

2.3.1. ความขัดแย้ง (Contradiction) คือ รูปแบบประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จเสมอโดยไม่ขึ้นอยู่กับค่าความจริงของตัวแปรของแต่ละประพจน์ย่อยประพจน์ที่มีรูปแบบ เป็นความขัดแย้ง เรียกว่า ประพจน์ความขัดแย้ง (Contradicithon statement)

2.4. การให้เหตุผล (Reasoning)

2.4.1. การให้เหตุผลแบบนิรนัย

2.4.1.1. เป็นการให้เหตุ โดยนำข้อความที่กำหนดให้ ซึ่งต้องยอมรับว่าเป็นจริง ทั้งหมด เรียกว่า เหตุ และข้อความจริงใหม่ที่ได้เรียกว่า ผลสรุป ซึ่งถ้า พบว่าเหตุที่กำหนดนั้นบังคับให้เกิดผลสรุปไม่ได้ แสดงว่า การให้เหตุผลดังกล่าวสมเหตุสมผล แต่ถ้าพบว่าเหตุที่กำหนดนั้นบังคับให้เกิดผลสรุปไม่ได้แสดงว่า การให้เหตุผลดังกล่าวไม่สมเหตุสมผล

2.4.2. การให้เหตุผลแบบอุปนัย

2.4.2.1. เป็นการให้เหตุผลโดยอาศัยข้อสังเกตหรือผลการทดลองจากหลายๆตัวอย่าง มาสรุปเป็นข้อตกลง หรือข้อคาดเดาทั่วไป หรือ คำพยากรณ์และจะต้องมีข้อสังเกต หรือ ผลการทดลอง หรือ มีประสบการณ์ที่มากพอที่จะปักใจเชื่อได้ แต่ก็ยังไม่สามารถแน่ใจในผลสรุปได้เต็มที่เหมือนกับการให้เหตุผลแบบนิรนัย

3. ความสัมพันธ์และฟังก์ชั่น

3.1. ผลคูณคาร์ทีเชียน(Cartesian Product)

3.1.1. นิยาม คูณคาร์ทีเชียน ของเซต A และ B คือ เซตคู่ลำดับ (a , b) ทั้งหมดโดยที่ a เป็นสมาชิกของ A และ b เป็นสมาชิกของ B เช่น A = {1 , 2 , 3 } , B = {4 , 5 , 6} และ A x B คือ ผลคูณคาร์ทีเชียนของเซต A และ เซต B ดังนั้น A x B = {(1 , 4) , (1 , 5) , (1 , 6) , (2 , 4) , (2 , 5) , (2 , 6) , (3 , 4) , (3 , 5) , (3 , 6)}

3.2. ความสัมพันธ์ (Relation)

3.2.1. ความสัมพันธ์จะมีขึ้นต้องมีเซตของคู่ลำดับ (Order Pairs) ก่อน

3.2.2. คู่ลำดับจะเกิดขึ้นได้เมื่อมี A x B หรือ B x A ซึ่งเป็นผลคูณคาร์ทีเชียนนั่นเอง

3.3. โดเมน และ เรนจ์ของความสัมพันธ์ (Domain and Range of Relations)

3.3.1. ถ้ากำหนด R เป็นความสัมพันธ์ โดเมนของ R : (Dr ) คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่ลำดับ เรนจ์ ของ R : (Rr ) คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่ลำดับ

3.4. ฟังก์ชัน (Function)

3.4.1. คือ ความสัมพันธ์อย่างหนึ่งโดยที่คู่ลำดับใด ๆ จะมี สมาชิกตัวหน้าซ้ำกันไม่ได้ เช่น R1 = {(1 , 2) , (1 , 4) } R1 ไม่เป็นฟังก์ชันเพราะสมาชิกตัวหน้าซ้ำกัน R2 = {(1 , 3) , (2 , 3)} R2 เป็นฟังก์ชัน ตามนิยาม R3 = {(1 , 4) , (2 , 3)} R3 เป็นฟังก์ชัน ตามนิยาม

3.5. อินเวอร์สของฟังก์ชัน (f-1)

3.5.1. ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B อินเวอร์สของ r เขียนแทนด้วย r-1 ก็จะเป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A r = {(x , y) โดยที่ x เป็นสมาชิกของ A, y เป็นสมาชิกของ B } r-1 = {(y , x) โดยที่ (x , y) เป็นสมาชิกของ r} การหาอินเวอร์สฟังก์ชัน(f-1) (1) ที่ใดมี x แทนด้วย y และที่ใดมี y แทนด้วย x (2) พยายามทำให้อยู่ในรูป y = f(x) (3) y ตัวนี้คือ f -1 นั่นเอง กรณีเขียนเป็นรูปคู่อันดับ การหาอินเวอร์สฟังก์ชัน (f-1) ทำได้โดย ถ้า f = {(a , 1) , (b , 2) , (c , 3)}

3.6. ฟังก์ชันคอมโพสิท(composite function)

3.6.1. เป็นการกระทำตั้งแต่ฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชันขึ้นไป โดยมีลักษณะเหมือนกับการนำฟังก์ชันนั้นมาเชื่อมกัน ให้ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ให้ g เป็นฟังก์ชันจาก B ไป C เราสามารถสร้างฟังก์ชันจาก A ไป C ได้โดยเขียนแทนด้วย gof(x) = gf(x) จะสร้าง gof(x) ได้ก็ต่อเมื่อ เรนจ์ของ f ต้องเป็นสับเซตของโดเมน g