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Calculus by Mind Map: Calculus

1. Laws

1.1. REPLACEMENT LAW                                                                                                                                 ASSUME that  : f(x) = g(x)   , x NOT EQUAL TO  a                                                                                  Then, 1) lim f(x) = lim g(x)  OR  2) no limits exist

2. CONTINUITY

2.1. Definition of Continuous Function

2.1.1. a ε dom(f)

2.1.2. lim f(x) exists

2.1.2.1. Use ONE SIDED LIMITS TO PROVE (RHS = LHS)

2.1.3. lim f(x) = f(a)

2.2. Pass Limits into Continuous Functions  (Theorem)

2.2.1. ASSUME that 1) lim g(x) exists

2.2.2. 2)  f is continuous at lim g(x)

2.2.3. THEN lim f ( g(x) ) = f ( lim g(x) )

2.3. Compositions of Continuous Functions  (Theorem)

2.3.1. ASSUME that 1 ) g(x) is continuous at a

2.3.2. 2) f(x) is continuous at g(a)

2.3.3. THEN : (F o G)(x) is continuous at a

2.4. Continuous on an interval , IVT THEOREM           - F IS A FUNCTION                                         - N,a,b ε R with a < b

2.4.1. ASSUME that : f is continuous on a closed interval [ a,b]

2.4.2. f(a) NOT EQUAL TO f(b)

2.4.3. N lies between f(a) and f(b)

2.4.4. THEN : There exists a number c s.t.                                                                                                           1) a < c < b                                                     2) f(c) = N

3. Differentiable/ Derivatives

3.1. Definition of ' Derivative at a '

3.1.1. f'(a) =  lim f( a+h) - f(a)

3.1.1.1. IF LIMIT EXISTS, f(a) IS DIFFERENTIABLE AT a, if limits DNE, DERIVATIVE IS NOT DEFINED AT a       NOTE:                                                          THIS ACTUALLY ALSO MAKES UP THE DEFINITION OF ' THE DERIVATIVE FUNCTION '

3.1.1.1.1. Theorem : If a function f is differentiable at point a, it is continuous at a.

3.2. Useful rules

3.2.1. Power Rule

3.2.1.1. Let n ε N , and x,a ε R ,

3.2.1.2. THEN:                                                              (x-n)(x                             ) = x   - a

3.2.2. Product Rule

3.2.2.1. ASSUME that :  f(x) is differentiable at point a

3.2.2.2. g(x) is differentiable at a

3.2.2.3. THEN: f(x)g(x) is also differentiable at a

3.2.2.3.1. [ f(x)g(x) ] ' = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)

4. L' Hopital Rule

4.1. SUPER IMPORTANT!!! ONLY APPLIES ON LIM 0/0

4.1.1. DIFFERENTIATE TOP AND BOTTOM INDIVIDUALLY (leave in the same form)

4.1.2. STATE THAT YOU ARE USING L'HOPITAL RULE

5. ROLLE'S THEOREM                                                                                                            Note:                                                          - a and b are the EXTREME VALUES

5.1. Within closed interval [ a ,b ]

5.2. Continuous in [ a , b ]

5.2.1. USE ONE SIDED LIMITS TO CHECK, LHS = RHS

5.3. Differentiable in ( a , b )

5.3.1. Check whether dx/dy is defined at every point within interval

5.3.1.1. Basically dy/dx DENOMINATOR NOT EQUAL TO 0

5.4. Check f(a) , f(b) and f'(c) = 0

6. TRIGO LIMIT IDENTITIES                          ALWAYS MANIPULATE TRIGO LIMITS QN TO BE ABLE TO USE THESE IDENTITIES ( OFTEN TAN = SIN/COS )

6.1. lim cos(x) - 1 = 0

6.2. lim sin(x) = 1

7. Tangent

7.1. To have a tangent at a point of a graph, limit of tangent at that point must exist( Acc. to definition of the tangent to the graph)                                                                    Therefore,                           , where the tangent line passes through (       ,        )

7.2. dy/dx = 0 , gradient = 0

7.2.1. Turnings points of curves

7.2.2. Points of Inflexions                                         - Different from turnings points as the RHS and LHS of turning points goes opp directions ( 1 up 1 down )

8. Limit Laws

8.1. Sums : lim f(x) exists , lim g(x) exists                                                                                                 Then, lim( f(x) + g(x) exists  and                                  = lim f(x) + lim g(x)

8.2. Products : lim f(x) exists , lim g(x) exists                                                                                         Then, lim f(x)g(x) exists   and                                 = lim f(x) * lim g(x)

8.3. Quotients : lim f(x) exists, lim g(x) exists and lim g(x) NOT EQUAL TO 0                                                                                                                   Then,

8.4. Simple Functions : a,c ε R                                                                                                                 1) lim c = c                                                     2) lim x = a

8.5. Differences : lim f(x) exists, lim g(x) exists                                                                                              Then, lim ( f(x) - g(x) ) exists   and                         = lim f(x) - lim g(x)

8.6. Roots : Let a ε R , a > 0 and n ε N ,                                                                                                   lim x ^ 1/n = a ^  1/n

9. Even and Odd Functions

9.1. Even : f(-x) = f(x)

9.2. Odd : f(-x) = -f(x)

10. Theorems

10.1. ONE SIDED LIMITS                                                                                                              IFF lim f(x) = lim f(x) = lim f(x)

10.2. COMPARISON THEOREM                                                                                                               lim f(x) exists, lim g(x) exists ,                             f(x) < g(x) for all x in the neighbourhood of a except for a itself                                                                                                                        Then,    lim f(x) < lim g(x)

10.2.1. SQUEEZE THEOREM                                                                                                                                                                                                                                                                                       lim g1(x) exists , lim g2(x) exists,                                                                                                           lim g1(x) = g2(x)                                                                                                                              g1(x) < f(x) < g2(x) for all x in the neighbourhood of a except for a itself                                                                                                                                                                                                     Then, 1) limf(x) exists                                                                                                                                      2) lim f(x) = lim g1(x) = lim g2(x)

10.3. FUNCTIONS HAVE UNIQUE LIMITS                                                                                                                                                               If lim f(x) = K AND lim g(x) = L                                                                                                                                                                Then, K = L

11. Not within mindmap

11.1. Format of estimation answer

11.1.1. POSITIVE Infinite Limit

11.1.2. NEGATIVE  Infinite Limit

11.1.3. Limits from the LEFT

11.1.4. Limits from the RIGHT

11.2. Transformation of graph