Create your own awesome maps

Even on the go

with our free apps for iPhone, iPad and Android

Get Started

Already have an account?
Log In

Funcţia de gradul II by Mind Map: Funcţia de gradul II
0.0 stars - 0 reviews range from 0 to 5

Funcţia de gradul II

DEFINIŢIA FUNCŢIEI DE GRADUL AL DOILEA. EXEMPLE Definiţie. Fiind date numerele reale, a,b,c cu a≠ 0, funcţia f : R→R definită prin formula: f(x) = ax² + bx + c se numeşte funcţie de gradul al doilea cu coeficienţii a, b, c. 1) Deoarece domeniul şi codomeniul funcţiei de gradul al doilea este R vom indica această funcţie astfel: f(x) = ax² + bx + c sau y = ax² + bx + c 2) O funcţie de gradul al doilea f : R→R, f(x) = ax² + bx + c este perfect determinată când se cunosc numerele reale a, b, c (a ≠ 0). 3) Trebuie să observăm că în definiţia funcţiei de gradul al doilea condiţia a ≠ 0 este esenţială în sensul că ipoteza a = 0 conduce la funcţia de gradul întâi, studiată în clasa a VIII-a. 4) Denumirea de funcţie de gradul al doilea provine din faptul că este definită prin intermediul trinomului de gradul al doilea aX² + bX + c.

Intersecţia graficului cu axele de coordonate

C. Intersecţia curbei Χf cu axele de coordonate Se ştie că Ox = {(x, y)|x ∈ R, y = 0}, iar Oy = {(x, y)| x = 0, y ∈ R}. Rezultă: M (x, y) ∈ Χf ∩ Ox ⇔ y = ax² + bx + c şi y = 0 ⇔ ax² + bx + c = 0 şi y = 0. M (x, y) ∈ Χf ∩ Oy ⇔ y = ax² + bx + c şi x = 0 ⇔ x = 0 şi y = c. După cum Δ = b² - 4ac este strict pozitiv, nul sau strict negativ, ecuaţia ax² + bx + c = 0 are două soluţii reale x1 şi x2, o singură soluţie reală x = -b/2a, respectiv nici o soluţie reală. În consecinţă: • dacă Δ > 0, Χf ∩ Ox ={A(x1, 0), B (x2, 0)}; • dacă Δ = 0, Χf ∩ Ox ={A (-b/2a, 0)}; • dacă Δ < 0, Χf ∩ Ox =Ø. De asemenea, reprezentarea grafică a oricărei funcţii pătratice intersectează axa Oy, şi anume Χf ∩ Oy = {C(0, c)} Pentru c = 0, curba asociată funcţiei f(x) = ax² + bx trece prin originea reperului.

Axa Ox

In 2 puncte

Intr-un punct

Nu taie axa Ox

Axa Oy

Punctul A(0,c)

Rezolvari probleme

Rezolvarea ecuaţiilor de gradul II

Rezolvarea inecuaţiilor de gradul II

Monotonia funcţiei de gradul II

Fie funcţia f : R→R, f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0. o Dacă a > 0, atunci funcţia f atinge minimul în punctul –b/2a şi este: strict descrescătoare pe (-∞; -b/2a], strict crescătoare pe [-b/2a; + ∞); o Dacă a < 0, atunci funcţia f atinge maximul în punctul –b/2a şi este: strict crescătoare pe (-∞; -b/2a], strict descrescătoare pe [-b/2a; + ∞).

Semnul funcţiei de gradul II

Aplicaţii

Variatia si reprezentarea grafica

Forma canonică Reamintim că pentru orice x ∈ R ax² + bx + c = a[(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a²] Rezultă că pentru orice x ∈ R, avem f(x) = a[(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a²] (1) Membrul drept al egalităţii (1) se numeşte forma canonică a funcţiei pătratice. Numărul Δ = b² - 4ac, discriminantul ecuaţiei asociate (ax² + bx + c = 0), se mai numeşte discriminantul funcţiei pătratice. Observăm că f(-b/2a) = -Δ/4a Maximul şi minimul În general, având în vedere forma canonică a funcţiei pătratice f(x) = ax² + bx + c şi faptul că f(-b/2a) = -Δ/4a, rezultă că pentru orice x ∈ R f(x) - f(-b/2a) = a(x + b/2a)² Constatăm că semnul diferenţei din membrul stâng depinde de semnul numărului a, deci pentru orice x ∈ R avem: 2 o dacă a > 0, f(x) ≥ f(-b/2a), deci f admite un minim pe R; o dacă a < 0, f(x) ≤ f(-b/2a), deci f admite un maxim pe R; Fie funcţia f : R→R, f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0. o Dacă a > 0, minimul funcţiei f pe R este –Δ/4a = f(-b/2a) iar punctul de minim este –b/2a. o Dacă a < 0, maximul funcţiei f pe R este –Δ/4a = f(-b/2a) iar punctul de maxim este –b/2a.