1. HÀM SỐ BẬC HAI (y= ax^2 +bx+c (a,b,c là hằng số, a≠0))
1.1. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ y=ax^2
1.1.1. là 1 PARABOL (P) có
1.1.1.1. đỉnh là gốc tọa đô O
1.1.1.2. trục đối xứng là Oy
1.1.1.3. bề lõm hướng lên khi a>0, hướng xuống khi a<0
1.2. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ y=ax^2+bx +c (a≠0)
1.2.1. đỉnh I ((-b)/2a;(-Δ)/4a)
1.2.2. trục đối xứng là đường thẳng x=(-b)/2a
1.2.3. bề lõm hướng lên khi a>0, hướng xuống khi a<0
1.3. SỰ BIẾN THIÊN
1.3.1. xem đề cương/39
1.4. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1.4.1. Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ a,b,c KHI BIẾT CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ VÀ HÀM SỐ
1.4.1.1. ta thiết lập hệ phương trình với các ẩn a,b,c biểu thị các tính chất của đồ thị hoặc hàm số. Giải hệ phương trình này để tính a,b,c.
1.4.1.2. LƯU Ý!!!!
1.4.1.2.1. Đỉnh I của (P) luôn thuộc (P), nghĩa là y1=ax1^2+bx1+c
1.4.1.2.2. (P) có đỉnh là I: (-b)/2a=xI và yI= axI^2+bxI+c (=(-Δ)/4a)
2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1 ẨN (ax^2+bx+c=0, a≠0)
2.1. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax^2+bx+c=0
2.1.1. Phương pháp đại số
2.1.1.1. TH a=0: ta giải pt bx+c=0
2.1.1.2. TH a≠0 ta tính biệt thức ∆= b^2-4ac
2.1.1.2.1. ∆>0: pt có 2 nghiệm phân biệt x1,2 =(-b±√∆)/2a
2.1.1.2.2. ∆=0: pt có 1 nghiệm( nghiệm kép) x=(-b)/2a
2.1.1.2.3. ∆<0: pt vô nghiệm
2.1.2. ĐỊNH LÍ
2.1.2.1. 2 số x1 và x2 là các nghiệm của pt ax^2+bx+c=0 khi và chỉ khi chúng thỏa mãn các hệ thức x1+x2=(-b)/a và x1.x2 =c/a
2.1.3. ỨNG DỤNG
2.1.3.1. Nhẩm nghiệm của pt bậc hai
2.1.3.1.1. nếu a+b+c=0 thì pt có 1 nghiệm là x1=1 và x2=c/a
2.1.3.1.2. Nếu a-b+c=0 thì pt có 1 nghiệm là x1=-1 và nghiệm kia x2=-c/a
2.1.3.2. Phân tích đa thức thành nhân tử
2.1.3.2.1. Nếu đa thức f(x)=ax^2+bx+c (a≠0) có 2 nghiệm x1, x2 thì nó có thể phân tích thành nhân tử f(x)=a(x-x1)(x-x2)
2.1.3.3. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
2.1.3.3.1. Nếu có 2 số tổng bằng S và tích bằng P thì chúng là 2 nghiệm của pt : x^2-Sx+P=0
2.1.3.4. Xét dấu các nghiệm của pt bậc hai
2.1.3.4.1. cho pt bậc hai ax^2+bx+c=0 (1) a≠0, đặt S=(-b)/a và P=c/a
2.2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
2.2.1. Vấn đề 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PT ax^2+bx+c=0
2.2.1.1. Giống giải và biện luận pt theo phương pháp đại số
2.2.1.2. pt có nghiệm <=> a=0, b≠0 hoặc a≠0, ∆≥0
2.2.1.3. pt có nghiệm duy nhất <=>a=0, b≠0 hoặc a≠0, ∆=0
2.2.2. Vấn đề 2: DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI BẰNG ĐỒ THỊ
2.2.2.1. Giả sử pt được biến đổi về dạng ax^2+bx+c=m(1) trong đó a,b,c là những số cho trước với a≠0, m là tham số
2.2.2.1.1. bước 1: ta nói rằng (1) là pt hoành độ giao điểm của 2 đồ thị (P) y=ax^2+bx+c và (d) y=m. Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của (d) và (P)
2.2.2.1.2. bước 2: vẽ (P) và (d) trong cùng 1 hệ trục tọa độ. Đường thẳng (d) // hoặc trùng với Ox, cắt trục Oy tại điểm có tung độ m
2.2.2.1.3. bước 3: quan sát đồ thị, tùy theo giá trị của m, ta xác định đc số giao điểm của 2 đồ thị, tức là số nghiệm của (1)
2.2.3. Vấn đề 3: DẤU CỦA NGHIỆM SỐ
2.2.3.1. Xem đề cương trang 60
2.2.4. Vấn đề 4: TÌM MỘT HỆ THỨC GIỮA CÁC NGHIỆM ĐỘC LẬP VỚI THAM SỐ
2.2.4.1. cho pt ax^2+bx+c=0(1). Khi pt (1) có 2 nghiệm x1, x2 (a≠0, ∆≥0) ta đặt S,P và tính S,P theo tham số . Khử tham số giữa 2 hệ thức này ta được hệ thức cần phải tìm
2.2.5. Vấn đề 5: XÁC ĐỊNH THAM SỐ m ĐỂ PT ax^2+bx+c=0 (1) có 2 nghiệm x1,x2 thỏa đk (*) cho trước
2.2.5.1. Giá trị m thỏa YCBT <=> a≠0, ∆≥0(1), x1+x2=(-b)/a(2), x1.x2=c/a(3) và (*)(4)
2.2.5.2. dùng (2),(3),(4) tính được m
2.2.5.3. giá trị này chỉ được nhận nếu nó thỏa (1)
3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI
3.1. Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
3.1.1. DẠNG 1: |A|=|B|(1)
3.1.1.1. Cách 1: (1)<=> A=±B
3.1.1.2. Cách 2 (1)<=> A^2=B^2
3.1.2. DẠNG 2: |A|=B (2)
3.1.2.1. Cách 1: (2)<=> B≥0. A=±B
3.1.2.2. Cách 2
3.1.2.2.1. (2)<=> A≥0. A=B
3.1.2.2.2. (2)<=> A<0. -A=B
3.1.2.3. Cách 3: bình phương 2 vế rồi thử lại
3.2. Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC
3.2.1. Pt A/B=C(1) <=> B≠0 (*) và A=B.C(2)
3.2.2. ta giải (2) rồi chọn nghiệm theo đk (*)
3.3. Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở DƯỚI DẤU CĂN
3.3.1. CÁCH GIẢI TỔNG QUÁT
3.3.1.1. ta thường bình phương hai vế kèm theo điều kiện hai vế cùng không âm, được một phương trình tương đương
3.3.1.2. nếu đk phát sinh phát sinh phức tạp, ta có thể bình phương 2 vế để đưa về một phương trình hệ ủa không chứa dấu căn. Giải pt này rồi thử lại
3.3.2. TRƯỜNG HỢP RIÊNG
3.3.2.1. √A =√B
3.3.2.1.1. A≥0 (hay B≥0) và A=B
3.3.2.2. √A =B
3.3.2.2.1. B≥0 và A=B^2
3.4. Vấn đề 4: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DÙNG ẨN SỐ PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
3.4.1. Phương trình trùng phương
3.4.1.1. ax^4+bx^2+c=0 (a≠0). Đặt t=x^2 (t≥0)
3.4.2. (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+k=0 (1) với k≠0 và a+b=c+d
3.4.2.1. (1)<=> [x^2+(a+b)x+ab][x^2+(c+d)x+cd]+k=0. Đặt t= x^2+(a+b)x+ab
3.4.2.1.1. (1)có dạng t(t+cd-ab)+k=0
3.4.3. ax^4+bx^3+cx^2±bx+a=0 (a≠0)
3.4.3.1. vì x=0 không thỏa pt => x≠0
3.4.3.1.1. chia 2 vế cho x^2, (1) <=> a(x^2+1/(x^2))+ b(x±1/x)+c=0. Đặt t=x±1/x
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HAI ẨN
4.1. GIÁO KHOA
4.1.1. Hệ đối xứng
4.1.1.1. Định nghĩa
4.1.1.1.1. là hệ đối xứng đối với x,y nếu khi thay thế x bởi y và y bởi x thì hệ pt ko thay đổi
4.1.1.2. Phân loại
4.1.1.2.1. Nếu mỗi pt không thay đổi khi thay x bởi y và y bởi x thì ta có hệ đối xứng loại 1
4.1.1.2.2. Nếu pt thứ nhất biến thành pt thứ hai và pt thứ hai biến thành thứ nhất sau khi thay x bởi y và y bởi x thì ta có hệ đối xứng loại 2
4.1.2. Tính chất đối xứng của nghiệm
4.1.2.1. Nếu (x0,y0) là 1 nghiệm thì (y0,x0) cũng là 1 nghiệm của hệ
4.1.2.2. do đó nếu hệ có nghiệm là (x0,y0) thì nghiệm đó cũng là (y0,x0), suy ra x0=y0
4.2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
4.2.1. Vấn đề 1: HỆ GỒM MỘT PT BẬC NHẤT VÀ 1 PT BẬC HAI
4.2.1.1. Ta dùng pp thế
4.2.1.1.1. từ pt bậc nhất ta tính được ẩn này theo ẩn kia
4.2.1.1.2. thế vào pt còn lại, ta được pt một ẩn và tính được giá trị ẩn đó
4.2.1.1.3. suy ra giá trị ẩn còn lại
4.2.2. Vấn đề 2 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1 (I): f(x,y)=0 và g(x,y)=0
4.2.2.1. đặt S=x+y và P=xy, biến đổi hệ (I) thành hệ (II) theo S,P
4.2.2.2. Giải hệ (II) để tính S,P
4.2.2.3. với mỗi cặp nghiệm (S,P) của (II) thì x, y là nghiệm của pt X^2-SX+P=0. Đk tồn tại x,y S^2-4P≥0
4.2.3. Vấn đề 3: HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2 (I): f(x,y)=0 và g(x,y)=0
4.2.3.1. trừ vế với vế của 2pt của hê ta được pt có dạng (x-y).h.(x-y)=0
4.2.3.2. hệ (I) <=> f(x,y)=0 và x-y=0 hoặc f(x,y)=0 và h(x,y)=0
5. DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM GTLN VÀ GTNN
5.1. GIÁO KHOA
5.1.1. GTLN
5.1.1.1. số M được gọi là GTLN của f(x) nếu
5.1.1.1.1. ∀x ∈ X: f(x) ≤ M
5.1.1.1.2. ∃x0 ∈ X: f(x)=M
5.1.1.1.3. kí hiệu: M=max f(x) (x ∈ X)
5.1.2. GTNN
5.1.2.1. số m được gọi là GTNN của f(x) nếu
5.1.2.1.1. ∀x ∈ X: f(x) ≤ m
5.1.2.1.2. ∃x0 ∈ X: f(x)=Mm
5.1.2.1.3. kí hiệu: m=min f(x) (x ∈ X)
5.2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
5.2.1. bước 1: tím hằng số M hay m sao cho f(x) ≥ m hay f(x) ≤ M, ∀x ∈ X bằng cách sử dụng các bất đẳng thức đã biết ở trên hay biến đổi f(x) về dạng f(x)=M-g^2(x) (hay f(x)=m+g^2(x)
5.2.2. bước 2 Tìm x0 ∈ X để dấu "=" xảy ra
5.2.3. bước 3 Kết luận
6. KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH
6.1. PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
6.1.1. Pt một ẩn là 1 mệnh đề chứa biến dạng "f(x)=g(x)", trong đó
6.1.1.1. y=f(x) và y=g(x) là hàm số có tập xác định lần lượt là Df và Dg
6.1.1.2. D=Df∩Dg gọi là tập xác định của phương trình, x là ẩn số
6.1.1.3. Nghiệm của pt f(x)=g(x) là số x∈D sao cho "f(x0)=g(x0)" là một mệnh đề đúng
6.1.2. CHÚ Ý !!!!
6.1.2.1. ĐIỀU KIỆN CỦA PT là đk của ẩn số x để x∈D hay đk của x để hai vế của pt có nghĩa và các đk khác của ẩn (nếu có yêu cầu)
6.1.2.1.1. Khi các phép toán ở 2 vế của pt đều thực hiện được với mọi x ∈ R thì ta không cần ghi đk của pt
6.1.2.2. GIẢI PT là tìm tập hợp tất cả các nghiệm của pt (gọi là tập nghiệm). Nếu tập nghiệm là tập rỗng, ta nói pt vô nghiệm
6.1.2.3. Các nghiệm của pt f(x)=g(x) là hoành độ các giao điểm 2 đồ thị 2 hàm số y=f(x) và y=g(x)
6.1.2.3.1. số nghiệm của pt bằng số giao điểm của 2 đồ thị nói trên
6.2. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG
6.2.1. 2 pt (cùng ẩn) được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm
6.2.2. ĐỊNH LÍ: cho pt f(x)=g(x) có tập xác định D vàm hàm số y=h(x) xác định trên D ( h(x) có thể là một hằng số). Khi đó trên D ta có
6.2.2.1. f(x)=g(x) <=> f(x)+h(x)=g(x)+h(x)
6.2.2.2. f(x)=g(x) <=> f(x).h(x)=g(x).h(x) nếu h(x)≠0, ∀x ∈ D
6.3. PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
6.3.1. giả sử pt f1(x)=g1(x) (1) có tập nghiệm là T1 và pt f2(x)=g2(x) có tập nghiệm là T2. Nếu tập T1 là con của tập T2, ta nói pt(2) là pt hệ quả của pt(1)
6.3.1.1. Kí hiệu f1(x)=g1(x) => f2(x)=g2(x)
6.3.2. ĐỊNH LÍ: Khi bình phương 2 vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của phương trình đã cho
6.4. PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN
6.4.1. Phương trình 2 ẩn là 1 mđ chứa 2 biến dạng f(x,y)=g(x,y)
6.4.1.1. cặp số (x0,y0) thỏa mãn f(x0,y0)=g(x0,y0) được gọi là 1 nghiệm của pt
6.4.2. Phương trình 3 ẩn là 1 mđ chứa 3 biến dạng f(x,y,z)=g(x,y,z)
6.4.2.1. bộ ba (x0,y0,z0) thỏa mãn f(x0,y0,z0)=g(x0,y0,z0) được gọi là 1 nghiệm của pt
6.5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
6.5.1. Khi các hệ số của 1 pt chứa những chữ khác ngoài các ẩn, các chữ này được xem là những số đã biết và được gọi là tham số
6.5.2. tập nghiệm của pt này phụ thuộc vào tham số
6.5.3. tìm tập nghiệm của 1 pt chứa tham số được gọi là giải và biện luận pt đó
6.6. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
6.6.1. Vấn đề 1: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA PT
6.6.1.1. thiết lập đk để tất cả các biểu thức trong pt có nghĩa và các điều kiện khác, nếu có, chẳng hạn như đk về dấu của 2 vế
6.6.1.2. tìm đk của pt, đôi khi ta có thể biết được nghiệm của pt hoặc biết được pt này vô nghiệm
6.6.2. Vấn đề 2: GIẢI PT BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG HOẶC DÙNG PT HỆ QỦA
6.6.2.1. nếu thực hiện các phép biến đổi đồng nhất ở mỗi vế mà đk của pt không bị thay đổi thì ta được 1 pt tương đương
6.6.2.2. nếu 2 vế của 1 pt cùng không âm thì bình phương 2 vế của nó, ta thu được 1 pt tương đương
6.6.2.3. một vài phép biến đổi tương đương cơ bản
6.6.2.3.1. |f(x) |=g(x) <=> g(x)≥0 ⋀ f(x)=g(x) V g(x)≥0 ⋀ f(x)=-g(x)
6.6.2.3.2. √(f(x)) =√(g(x)) <=> f(x)≥0 (hay g(x)≥0 ⋀ f(x)=g(x)
6.6.2.3.3. √(f(x)) = g(x) <=>g(x)≥0 ⋀ f(x)=g^2(x)
6.6.2.4. nếu giải một pt bằng phép biến đổi tương đương mà phát sinh nhiều đk phức tạp, ta có thể giải pt hệ quả rồi chọn nghiệm bằng cách thử lại
7. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 1 ẨN (ax+b=0, (a≠0))
7.1. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax+b=0
7.1.1. a≠0: nghiệm duy nhất x=(-b)/a
7.1.2. a=0 và b≠0: pt vô nghiệm
7.1.3. a=0 và b=0: pt có tập nghiệm là R
7.2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
7.2.1. Vấn đề 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PT ax+b=0
7.2.1.1. Cho pt ax+b=0 (1),, giả sử các hệ số a,b chứa tham số m
7.2.1.1.1. giải và biện luận pt (1), ta xét 2 trường hợp a=0, a≠0
7.2.1.1.2. Pt(1) có 1 nghiệm duy nhất <=> a≠0
7.2.1.1.3. Pt(1) có tập nghiệm là R <=> a=0 và b=0
7.2.1.1.4. Pt(1) vô nghiệm <=> a=0 và b≠0
7.2.1.1.5. Pt(1) có nghiệm <=> (1) có nghiệm duy nhất hoặc (1) có tập nghiệm là R
7.2.1.1.6. LƯU Ý
8. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
8.1. GIÁO KHOA
8.1.1. Phương trình bậc nhất hai ẩn (ax+by=c)
8.1.2. Hệ pt bậc nhất 2 ẩn
8.1.2.1. a1x+b1y=c1 (1) và a2x+b2y=c2 (2) với a1^2+b1^2≠0 và a2^2+b2^2≠0
8.1.2.2. CÔNG THỨC NGHIỆM: QUY TẮC CRAME
8.1.2.2.1. Kí hiệu
8.1.2.2.2. D≠0 Nghiệm duy nhất x=Dx/D và y=Dy/D
8.1.2.2.3. D=0
8.1.2.3. Biểu diễn hình học của tập nghiệm
8.1.2.3.1. nghiệm (x,y) của hệ (I) là tọa độ M(x,y) thuộc cả 2 đường thẳng (d1)=(1) và (d2)=(2)
8.1.3. Hệ pt bậc nhất 3 ẩn
8.1.3.1. a1x+b1y+c1z=d1 và a2x+b2y+c2z=d2 và a3x+b3y+c3z=d3
8.1.3.2. CHÚ Ý
8.1.3.2.1. trong một số trường hợp, ta có thể đặt ẩn số phụ để đưa hệ vào hệ pt bậc nhất 2 ẩn hoạc 3 ẩn
8.2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
8.2.1. Vấn đề 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PT BẬC NHẤT 2 ẨN
8.2.1.1. bước 1 Tính các định thức D, Dx, Dy theo tham số và phân tích chúng thành tích số
8.2.1.2. bước 2 Xác định giá trị tham số trong các trường hợp D khác 0, D=0 và kết luận về nghiệm của hệ
8.2.2. Vấn đề 2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN
8.2.2.1. nguyên tắc chung là khử bớt ẩn số, đưa về hệ pt có ít ẩn số hơn, từ đó ta dễ dàng tính được nghiệm của hệ
8.2.2.2. muốn khử bớt ẩn, ta có thể dùng pp thế hoặc cộng đại số
9. BẤT ĐẲNG THỨC
9.1. TÍNH CHẤT CỦA BĐT
9.1.1. A>B VÀ B> C => A>C
9.1.2. A>B => A+C> B+C
9.1.3. NẾU C>0 THÌ A>B <=> AC>BC
9.1.4. NẾU C< THÌ A>B <=> AC<BC
9.1.5. CÁC HỆ QUẢ
9.1.5.1. xem đề cương trang 83
9.2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
9.2.1. Vấn đề 1: Phương pháp biến đổi tương đương
9.2.2. Vấn đề 2 Phương pháp biến đổi hệ quả
9.2.3. Vấn đề 3: Phương pháp áp dụng BĐT Cauchy
9.2.3.1. BĐT Cauchy cho 2 số không âm
9.2.3.1.1. cho a,b≥0 ta có (a+b)/2 ≥√ab. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b
9.2.3.1.2. các dạng khác
9.2.3.2. BĐT Cauchy cho 3 số không âm
9.2.3.2.1. cho a,b,c≥0 ta có (a+b+c)/3≥∛abc. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
9.2.3.2.2. các dạng khác
9.2.4. Vấn đề 4: Phương pháp áp dụng BĐT Bunhacopxki
9.2.4.1. BĐT Bunhacopxki cho 4 số
9.2.4.1.1. với 4 số x,y,a,b ta có (a^2+b^2)(x^2+y^2)≥ (ax+by)^2. Dấu đẳng thức xảy ra khi ax=by <=> x/a=y/b (nếu a,b khác 0)
9.2.4.2. BĐT Bunhacopxki cho 6 số
9.2.4.2.1. với 6 số x,y,z,a,b,c ta có (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)≥ (ax+by+cz)^2. Dấu đẳng thức xảy ra khi ax=by=cz <=> x/a=y/b=z/c (nếu a,b,c khác 0)
9.2.5. Vấn đề 5: Phương pháp chứng minh BĐT có dấu giá trị tuyệt đối
9.2.5.1. |A+B|≤ |A|+|B|. Dấu đẳng thức xảy ra <=> AB ≥ 0
9.2.5.2. |A-B|≥|(|A|+|B| )|. Dấu đẳng thức xảy ra <=> AB ≥ 0