LÓGICA PROPOSICIONAL Y TEORÍA MATEMÁTICA DE CONJUNTOS.

LÓGICA PROPOSICIONAL MATEMÁTICA. CONCEPTOS DE LA LÓGICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS.

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LÓGICA PROPOSICIONAL Y TEORÍA MATEMÁTICA DE CONJUNTOS. por Mind Map: LÓGICA PROPOSICIONAL Y TEORÍA MATEMÁTICA DE CONJUNTOS.

1. El valor de verdad de la proposición «llueve y no llueve» es una contradicción y siempre será falsa, con independencia del valor que consideremos V o F de “llueve” (p) y de “no llueve” (¬p). La función de verdad “no” se define mediante una tabla de verdad.

1.1. Afirmaciones declarativas.

1.1.1. El año empieza con el mes de enero(V) -Cuando está soleado se siente calor(V) - Marte está lleno de marcianos(F)

2. Las proposiciones se pueden combinar para obtener otras proposiciones.

2.1. Conectivos Lógicos

2.1.1. Negación(NO) - Disyunción Inclusiva, Exclusiva (Ó) - Conjunción(Y) - Condicional (SI-ENTONCES)- Bicondicional (SI Y SOLO SI).

3. Tipos de proposiciones

3.1. Una proposición simple es una afirmación que consta de una sola oración gramatical, es decir, no tiene palabras de enlace tales como: y, o, entonces, si y sólo si, entre otras.

3.1.1. Ejemplo: Yo hice las cosas bien.

3.2. Una proposición compuesta es una afirmación conformada por dos o más proposiciones simples que se conectan mediante las palabras “y”, “o”, “si… entonces”, “si y sólo si” y “no”.

3.2.1. Ejemplo: Gabriel Garcia Márquez es un escritor y Carlos Fuentes es otro

4. Las proposiciones especificas son representadas por letras mayúsculas P,Q,R

4.1. Una proposición lógica es un enunciado del que se puede decir que es verdadero o falso, pero no las dos cosas a la vez.

5. Una tabla de verdad lista todos los posibles valores de una o varias proposiciones simples y el valor de verdad de una o varias proposiciones compuestas construidas a partir de las proposiciones.

5.1. Negación: El valor de verdad de la negación es el contrario de la proposición negada. ¬

5.2. La conjunción: sirve para indicar que se cumplen dos condiciones simultáneamente. ∧

5.3. Disyunción(Inclusiva y Exclusiva): La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos componentes. ∨

5.3.1. dd

5.4. Condicional: El condicional solamente es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. De la verdad no se puede seguir la falsedad. ⇒

5.5. Bicondicional:El bicondicional solamente es cierto si sus componentes tienen el mismo valor de verdad. ⇔

5.6. Tautologías y contradicciones: Tautología: Al obtener el resultado final, todos los valores deben ser verdaderos "V". Contradicciones: Al obtener el resultado final, todos los valores deben ser falsos "F". Contingencia: En el resultado final, se alteran los valores "V" y "F".

6. Teoría de Conjuntos - Es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

6.1. Tipos de Conjuntos.

6.1.1. Conjunto vació o conjunto nulo: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por ∅ o { }.

6.1.2. Conjuntos disjuntos Son aquellos que no tienen elementos en común, es decir, cuando no existen elementos que pertenezcan a ambos.

6.1.3. Conjunto universal o conjunto referencial: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por U o Ω.

6.2. Notación: Para referirnos a un conjunto designaremos letras mayúsculas A, B, C, X, Y; y para referirnos a los elementos que componen un conjunto utilizaremos letras minúsculas a, b, c, x, y. para indicar que < p pertenece a A> utilizaremos la notación pϵA.

6.3. Conjunto por extensión: Construir o definir un conjunto por extensión consiste en declarar todos lo elementos que lo forman.

6.4. Conjunto por Intención: Construir o definir un conjunto por intención consiste en declarar cuáles elementos de un cierto conjunto son seleccionados

6.5. Operaciones de Conjuntos

6.5.1. Unión: El símbolo del operador de esta operación es: ∪ y es llamado copa.

6.5.2. Intersección: El símbolo del operador de esta operación es: ∩ y es llamado capa.

6.5.3. Disjuntividad: Se dice que dos conjuntos A y B son disjuntos cuando la coincidencia de ambos es el conjunto vacío.

6.5.4. Diferencia:La diferencia consiste en eliminar de A todo elemento que esté en B, también se puede denotar con el símbolo de la resta A-B, por lo tanto, la diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto C que tiene a todos los elementos que están en A, pero no en B.

6.6. Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre sí, que se llaman elementos del mismo.

6.6.1. Ejemplo: Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a ∈ A. Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a ∉ A.

6.7. Diagrama de Venn Euler: Es la representación gráfica que se realiza para representar un conjunto, a través de un rectángulo que representa el dominio y una circunferencia que representa el conjunto de verdad.