Álgebra Booleana, funciones y optimización de expresiones

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Álgebra Booleana, funciones y optimización de expresiones por Mind Map: Álgebra Booleana, funciones y optimización de expresiones

1. El sistema de Boole

1.1. Redujo argumentos lógicos a permutaciones de tres operadores básicos algebraicos

1.1.1. y

1.1.2. o

1.1.3. no

1.2. La primera máquina lógica a usar el álgebra de Boole

1.2.1. Piano lógico

2. Operaciones básicas

2.1. Algebra de Boole

2.1.1. Sistema matemático que utiliza variables y operadores lógicos

2.1.1.1. Variables

2.1.1.1.1. 0

2.1.1.1.2. 1

2.1.1.2. Operadores lógicos

2.1.1.2.1. Operación + (SUMA, OR, O, Disyunción)

2.1.1.2.2. Operación * (PRODUCTO, AND, Y, Conjunción)

2.1.1.2.3. Operación negación (NOT, OPUESTO)

2.2. La operación + (OR)

2.2.1. Definición

2.2.1.1. 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1

2.2.2. Propiedades

2.2.2.1. A+A=A 1+A=1 0+A=A

2.3. La Operación * (AND, Y, Conjunción)

2.3.1. Definición

2.3.1.1. 0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1

2.3.2. Propiedades

2.3.2.1. A*A=A A*0=0 A*1=A

2.4. La operación negación (NOT)

2.4.1. Permite obtener

2.4.1.1. El estado complementario del bit o variable booleana

2.4.2. Definición

2.4.2.1. Si aplicamos la negación a “0″ obtenemos un “1″.

2.4.2.2. Si aplicamos la negación a “1″ obtenemos un “0″.

2.5. Postulados

2.5.1. El álgebra booleana es un sistema algebraico definido en un conjunto B

2.5.1.1. Contiene dos o más elementos y entre los cuales se definen dos operaciones

2.5.1.1.1. Denominadas "suma u operación OR" ( + ) y "producto o multiplicación u operación AND" ( ),

2.5.2. Existencia de Neutros

2.5.2.1. Existen en B el elemento neutro de la suma, denominado O y el neutro de la multiplicación denominado 1, tales que para cualquier elemento x de s

2.5.2.1.1. (a) x + O = x

2.5.2.1.2. (b) x. 1 = x

2.5.3. Conmutatividad. Para cada x, y en B:

2.5.3.1. (a) x + y = y + x

2.5.3.2. (b) x y = y x

2.5.4. Asociatividad. Para cada x, y, z en B:

2.5.4.1. (a) x + (y + z) = (x + y) + z

2.5.4.2. (b) x (y z) = (x y) z

2.5.5. Distributividad. Para cada x, y, z en B:

2.5.5.1. (a) x + (y z)=(x + y) (x + z)

2.5.5.2. (b) x (y + z)=(x y)+(x z)

2.5.6. Existencia de Complementos. Para cada x en B existe un elemento único denotado x (también denotado x’), llamado complemento de x tal que:

2.5.6.1. (a) x+ x, = 1

2.5.6.2. (b) x • x, = O

2.6. Teoremas

2.6.1. Multiplicación por cero

2.6.1.1. a) A 0 = 0 b) A+1 = 1

2.6.2. Absorción

2.6.2.1. a) A + AB = A b) A(A + B) = A

2.6.3. Cancelación

2.6.3.1. a) A + A,B = A + B b) A(A,+ B) = A B

2.6.4. Cancelación

2.6.4.1. a) AB + A,B = B b) (A+B) (A,+B) = B

2.6.5. Idempotencia

2.6.5.1. a) A A = A b) A+A= A

2.6.6. Consenso

2.6.6.1. a) AB + A,C + BC = AB + A,C b) (A+B) (A,+C)(B+C) = (A+B) (A,+C)

2.6.7. Teorema de Morgan

2.6.7.1. a) A,B, = A,+ B, b) A,+ B,= A, B,

3. Definciones

3.1. Algebra de Boole

3.1.1. Conjunto de elementos “B” que puede asumir dos valores posibles (0 y 1) y que están relacionados por dos operaciones binarias suma (+) y producto (*) lógico.

3.2. Expresiones booleanas

3.2.1. Se usan para determinar si un conjunto de una o más condiciones es verdadero o falso

3.2.2. El resultado de su evaluación es un valor de verdad

3.3. Funciones en el álgebra de Boole

3.3.1. Función

3.3.1.1. Variable BINARIA cuyo valor depende de una expresión algebraica, en la que se relacionan entre sí

3.3.2. Función booleana

3.3.2.1. La forma estándar, contiene términos que se conocen, como términos de producto y términos de suma

3.4. Variables y funciones

3.4.1. Variables

3.4.1.1. Tomar valores

3.4.1.1.1. 0

3.4.1.1.2. 1

3.4.1.2. Representación

3.4.1.2.1. Letras del abecedario

3.4.1.3. Número máximo

3.4.1.3.1. Representado por el bit

3.4.1.4. Variable booleana

3.4.1.4.1. Símbolo que puede ser substituido por un elemento del conjunto

3.4.2. Funciones

3.4.2.1. Se expresan mediante operadores lógicos, paréntesis y signos de igual

3.4.2.2. Operadores lógicos

3.4.2.2.1. (AND, OR y NOT)

3.4.3. Expresión

3.4.3.1. Compuesta de variables, constantes y operadores

3.4.4. Literal

3.4.4.1. Es una variable o su complemento

3.5. Minitérmino

3.5.1. Expresión lógica que se compone de variables y los operadores lógicos AND y NOT

3.6. Maxitérmino

3.6.1. Es una expresión lógica que se compone de variables y los operadores lógicos OR y NOT

4. UDEMEX Arturo Rodríguez Vega