2ª freq.: Bioestatística- TEMA 9

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1. Observações: ▪ A ANOVA é robusta ao pressuposto de Normalidade, desde que a distribuição populacional seja aproximadamente simétrica e mesocúrtica; ▪ A ANOVA é robusta a violações de homocedasticidade quando o número de observações em cada grupo é igual ou aproximadamente igual. Quando a igualdade de variâncias não pode ser assumida deve-se usar a estatística de Brown-Forsythe (1974a,b) ou a estatística de Welch (1947, 1951), em vez da Estatística 𝐹. Posteriormente, caso exista evidência de que as médias não são todas iguais, devem utilizar-se testes de comparação múltipla que não assumam a igualdade de variâncias.

2. 9.1) Análise de variância simples: Aplica-se a análise de variância simples, ou a 1 fator, quando os valores amostrais estão separados em grupos segundo uma só característica (fator).

2.1. Objetivo: Testar a igualdade de três ou mais médias populacionais, isto é, testar se para um determinado fator a média é igual para todos os seus níveis.

3. 9) ANOVA: é uma técnica que permite analisar dados que são afetados por várias condições externas (fatores) que podem ou não operar em simultâneo.

3.1. Fator: É a característica que permite distinguir os diferentes grupos. Desta forma, a cada grupo corresponde um nível do fator, tendo um fator 𝐾 níveis.

3.2. Quer-se comparar mais de 2 médias, pode então testar-se a igualdade entre todos os pares de médias através dos testes 𝑡, por exemplo, no entanto, esta não é a melhor solução uma vez que aumenta consideravelmente o erro de tipo I.

3.2.1. A Análise de Variância constitui assim o procedimento adequado para comparar mais de duas médias.

3.3. Neste capítulo abordam-se os casos mais simples (1 e 2 fatores) da análise de variância que permitem comparar a igualdade de 𝐾 médias populacionais e, quando justificável, a interação.

3.3.1. Esta técnica baseia-se na comparação da variabilidade em torno de cada uma das médias amostrais e a variabilidade entre as médias amostrais, justificando a Análise de Variância.

3.3.1.1. Aborda-se também o chamado modelo de efeitos fixos, ou seja, o caso em que os níveis do fator são fixos (estudam-se todos os níveis possíveis do fator).

3.4. Pressupostos: ▪ As amostras têm de ser aleatórias para se garantir a independência; ▪ As populações têm distribuição Normal; ▪ As populações têm a mesma variância (homocedasticidade).

4. 9.2) Análise de variância dupla Aplica-se a análise de variância dupla, ou a 2 fator, quando os valores amostrais estão separados em grupos segundo duas só características (fatores).

4.1. Célula: É o conjunto de valores observados para o nível 𝑖 do fator 𝐴 e do nível 𝑗 do fator 𝐵. Se existe mais do que uma observação por célula, as repetições, então estas são designadas por réplicas.

4.1.1. Designa-se por célula o conjunto de valores observados para o nível 𝑖 do fator 𝐴 e do nível 𝑗 do fator 𝐵. Se existe mais do que uma observação por célula, as repetições, então estas são designadas por réplicas, isto é, as repetições (ou réplicas) tem a ver com o número de medições repetidas que sejam feitas para uma mesma unidade experimental.

4.1.1.1. Diz-se que existe interação quando para diferentes níveis de um fator a variável resposta não tem o mesmo efeito nos diferentes níveis do outro fator.

4.1.2. Objetivo: Testar se existe interação entre os dois fatores e se, para cada um dos fatores, a média é igual para todos os seus níveis.

4.1.3. Observações: ▪ Quando não existem repetições, então não se testa a interação. ▪ Por simplicidade, apenas se vai estudar o caso em que existe igual número de observações por célula.

4.1.4. Relativamente ao conceito de célula, repetições (ou replicações), experimentalmente, é muito comum fazer vários ensaios experimentais com as mesmas definições de fatores (níveis). As replicações estão sujeitas às mesmas fontes de variabilidade, independentemente umas das outras. É possível replicar combinações de níveis de fatores, grupos de combinações de níveis de fatores ou experiências completos.

4.1.5. A principal desvantagem dos modelos com 1 só fator é não se poder considerar a interação entre os fatores. Além disso, os modelos com mais do que um fator são mais eficientes do que os modelos com um só fator.

5. 9.3) Testes de comparação múltipla:A rejeição da hipótese nula do teste 𝐹 da análise de variância apenas permite concluir a não igualdade entre as médias entre os 𝐾 grupos.

5.1. Para analisar quais as médias que diferem significativamente entre si é necessário aplicar um outro tipo de teste que compare cada par de médias.

5.1.1. Existe uma grande variedade de testes de comparação múltipla (Post-hoc). Neste capítulo apenas serão abordados: ▪ Teste HSD de Tukey: é mais preciso quando as amostras têm igual dimensão. ▪ Teste de Scheffé: permite a utilização de amostras de dimensão diferente e é um método robusto relativamente aos pressupostos de Normalidade e igualdade das variâncias. Este teste tende a ser mais conservativo do que o teste HSD de Tukey.

5.1.2. Hipóteses a testar: Nestes testes ensaia-se a igualdade entre todos os pares de médias, i. e., para todo o 𝑖 ≠ 𝑗 e 𝑖,𝑗 = 1, 2, … ,𝐾: 𝐻0: 𝜇𝑖 = 𝜇𝑗 vs 𝐻1: 𝜇𝑖 ≠ 𝜇j

5.2. Teste HSD de Tukey

5.3. Teste de Scheffé

6. 9.4 Teste à igualdade das 𝑲 variâncias Um dos pressupostos da análise de variância é o facto de as 𝐾 populações serem Normais com igual variância. Uma forma de testar a veracidade da igualdade das variâncias, de distribuições Normais, é através do teste de Bartlett ou do teste de Levene.

6.1. Teste de Bartlett: Este teste é muito sensível ao pressuposto da Normalidade, pelo que não deve ser utilizado quando existem dúvidas relativamente à Normalidade. Uma vez que a distribuição é apenas assintótica, só se deve aplicar o teste Bartlett quando existirem pelo menos 5 observações por grupo (𝑛𝑖 ≥ 5).

6.2. Teste de Levene Este teste consiste em aplicar a análise de variância à uma nova variável 𝑍𝑖𝑗, que corresponde aos desvios absolutos entre a variável em estudo 𝑋𝑖𝑗 e a média, mediana ou média aparada, do respetivo grupo

6.2.1. Observações: - De referir que, no artigo de 1960, Levene propôs apenas o uso da média. - No caso de grupos com dimensões iguais, o teste de Levene possui a vantagem de ser um método robusto relativamente ao pressuposto de Normalidade. - Portanto, se existir uma forte evidência de que os dados não provêm de uma distribuição Normal, então deve-se utilizar o teste de Levene em vez do teste de Bartlett.